МОДЕЛИРОВАНИЕ В СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Тема 5. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ЕЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

5.1. Виды динамических моделей.

5.2. Особенности изучения взаимосвязанных временных рядов.

5.3. Метод отклонения от тренда.

5.4. Метод последовательных разностей.

5.5. Включение в модель регрессии фактора времени.

5.6. Коинтеграция временных рядов. Критерий Энгла-Грэнджера.

5.1. Виды динамических моделей

При анализе многих экономических показателей часто используют ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные, ежедневные данные. Например, это могут быть годовые данные по ВНП, ВВП, инфляции и т. д., месячные данные по объему продажи продукции, ежедневные объемы выпуска какого-либо предприятия. Для рационального анализа необходимо систематизировать моменты получения соответствующих статистических данных.

В этом случае следует упорядочить данные по времени их получения и построить так называемые временные ряды.

Пусть исследуется показатель y. Его значение в текущий момент времени t обозначают y_t; значения y в последующие моменты – y_{t + 1}, y_t + 2, …, y_{t + k}  значения y в предыдущие моменты обозначаются y_t – 1,
y_t – 2, …, y_t – k.

Нетрудно понять, что при изучении зависимостей между такими показателями либо при анализе их развития по времени в качестве объясняющих переменных используются не только текущие значения переменных, но и некоторые предыдущие по времени значения, а также само время t. Модели данного типа называют динамическими.

В свою очередь, переменные, влияние которых характеризуется определенным запаздыванием, называются лаговыми переменными.

Динамические модели используются достаточно широко. Это вполне естественно, так как во многих случаях воздействие одних экономических факторов на другие осуществляется не мгновенно, а с некоторым временным запаздыванием – лагом. Причин наличия лагов в экономике достаточно много, и среди них можно выделить следующие.

Психологические причины. Выражаются обычно через инерцию в поведении людей. Например, люди тратят свой доход постепенно, а не мгновенно. Привычка к определен­ному образу жизни приводит к тому, что люди приобретают те же блага в течение некоторого времени даже после падения реального дохода.

Технологические причины. Например, изобретение персо­нальных компьютеров не привело к мгновенному вытеснению ими больших ЭВМ в силу необходимости замены соответствую­щего программного обеспечения, которое потребовало продол­жительного времени.

Институциональные причины. Например, контракты ме­жду фирмами, трудовые договоры требуют определенного по­стоянства в течение времени контракта (договора).

Механизмы формирования экономических показателей. Например, инфляция во многом является инерционным про­цессом; денежный мультипликатор (создание денег в банков­ской системе) также проявляет себя на определенном времен­ном интервале и т. д.

Обычно динамические модели подразделяют на два класса:

1. Моделями с распределенным лагом называются модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения факторных переменных.  

2. Моделями авторегрессии называются модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной.  

Обе модели включают в себя лаговые значения переменных, но существенно различаются с точки зрения статистического оценивания параметров.

Модель с распределенным лагом в предположении, что максимальная величина лага конечна.  

В этой модели влияние х на y сохраняется в течение времени p.

В краткосрочном (текущем) периоде влияние x на y отражается величиной, называемой краткосрочным мультипликатором. Он характеризует среднее абсолютное изменение y_t при изменении x_t на единицу в некоторый фиксированный момент t без учета воздействия лаговых значений фактора x.

В долгосрочном периоде (через p моментов времени) суммарное влияние x на y отражается величиной β = β₀ + β₁ + … + β_p, называемой долгосрочным мультипликатором. Он характеризует общее изменение результата y в долгосрочном периоде (t + p) под влиянием изменения на единицу фактора x.

В моделях с распределенным лагом объясняющие переменные некоррелированы со случайным членом, поэтому модель можно оценивать с помощью обычного МНК. Однако на практике оценка параметров модели затруднительна из-за высокой мультиколлинеарности факторов. Для уменьшения числа объясняющих переменных и уменьшения эффекта мультиколлинеарности разработан ряд подходов, например модель геометрических лагов и модель полиномиальных лагов.

5.2. Особенности изучения взаимосвязанных временных рядов

Изучение причинно-следственных зависимостей переменных, представленных в форме временных рядов, является одной из самых сложных задач эконометрического моделирования. Применение в этих целях традиционных методов корреляционно-регрессионного анализа может привести к ряду серьезных проблем, возникающих как на этапе построения, так и на этапе анализа эконометрических моделей. В первую очередь эти проблемы связаны со спецификой временных рядов как источника данных в эконометрическом моделировании. Известно, что каждый уровень временного ряда содержит три основные компоненты: тенденцию, циклические, или сезонные, колебания и случайную компоненту. Рассмотрим, каким образом наличие этих компонент сказывается на результатах корреляционно-регрессионного анализа временных рядов данных.

Предварительный этап такого анализа заключается в выявлении структуры изучаемых временных рядов. Если на этом этапе было выявлено, что временные ряды содержат сезонные, или циклические, колебания, то перед проведением дальнейшего исследования взаимосвязи необходимо устранить сезонную, или циклическую, компоненту из уровней каждого ряда, поскольку ее наличие приведет к завышению истинных показателей силы и тесноты связи изучаемых временных рядов в случае, если оба ряда содержат циклические колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей в случае, если сезонные, или циклические, колебания содержат только один из рядов или если периодичность колебаний в рассматриваемых временных рядах различна.

Устранение сезонной компоненты из уровней временных рядов можно проводить в соответствии с методикой построения аддитивной и мультипликативной моделей. При дальнейшем изложении методов анализа взаимосвязей примем предположение, что изучаемые временные ряды не содержат периодических колебаний.

Допустим, что изучается зависимость между рядами х и у. Для количественной характеристики этой зависимости используется линейный коэффициент корреляции. Если рассматриваемые временные ряды имеют тенденцию, коэффициент корреляции по абсолютной величине будет высоким. Однако из этого еще нельзя делать вывод о том, что х причина у или наоборот. Высокий коэффициент корреляции в данном случае – это результат того, что х и у зависят от времени или содержат тенденцию. При этом одинаковую или противоположную тенденцию могут иметь ряды, совершенно не связанные друг с другом причинно-следственной зависимостью. Например, коэффициент корреляции между численностью выпускников вузов и числом домов отдыха составил 0,8. Это, естественно, не означает, что увеличение количества домов отдыха способствует росту числа выпускников вузов или увеличение числа последних стимулирует спрос на дома отдыха.

Для того чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинно-следственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от так называемой ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряде. Обычно это осуществляют с помощью одного из методов исключения тенденции.  

Наличие тенденции в каждом из этих временных рядов означает, что на зависимую у_t  и независимую х_t переменные модели оказывает воздействие фактор времени, который непосредственно в модели не учтен. Влияние фактора времени будет выражено в корреляционной зависимости между значениями остатков  за текущий и предыдущие моменты времени, которая получила название автокорреляция в остатках.

Автокорреляция в остатках – это нарушение одной из основных предпосылок МНК – предпосылки о случайности остатков, полученных по уравнению регрессии. Один из возможных путей решения этой проблемы состоит в применении обобщенного МНК к оценке параметров модели. При построении уравнения множественной регрессии по временным рядам данных, помимо двух вышеназванных проблем, возникает также проблема мультиколлинеарности факторов, входящих в уравнение регрессии, в случае, если эти факторы содержат тенденцию.

Для исключения тенденции существует несколько методов. Их сущность заключается в том, чтобы устранить или зафиксировать воздействие фактора времени на формирование уровней ряда.

Основные методы исключения тенденции можно разделить на две группы:

• методы, основанные на преобразовании уровней исходного ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полученные переменные используются далее для анализа взаимосвязи изучаемых временных рядов. Эти методы предполагают непосредственное устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда. Два основных метода в данной группе – это метод последовательных разностей и метод отклонений от трендов;

• методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных уровней временных рядов при элиминировании воздействия фактора времени на зависимую и независимую переменные модели. В первую очередь – это метод включения в модель регрессии по временным рядам фактора времени.

5.3. Метод отклонения от тренда

Пусть имеются два временных ряда х_t и у_t, каждый из которых содержит трендовую компоненту Т и случайную компоненту. Аналитическое выравнивание каждого из этих рядов позволяет найти параметры соответствующих уравнений трендов и определить расчетные по тренду уровни  и  соответственно. Эти расчетные значения можно принять за оценку трендовой компоненты Т каждого ряда. Поэтому влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений уровней ряда из фактических. Эту процедуру проделывают для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с использованием не исходных уровней, а отклонений от тренда  и   при условии, что последние не содержат тенденции.

Содержательная интерпретация параметров этой модели затруднительна, однако ее можно использовать для прогнозирования. Для этого необходимо определить трендовое значение факторного признака  и с помощью одного из методов оценить величину предполагаемого отклонения фактического значения от трендового. Далее по уравнению тренда для результативного признака определяют трендовое значение , а по уравнению регрессии по отклонениям от трендов находят величину отклонения .

5.4. Метод последовательных разностей

Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, ее можно устранить путем замены исходных уровней ряда цепными абсолютными приростами (первыми разностями).

Если временной ряд содержит тенденцию в форме параболы второго порядка, то для ее устранения можно заменить исходные уровни ряда на вторые разности.

При всей своей простоте метод последовательных разностей имеет два существенных недостатка. Во-первых, его применение связано с сокращением числа пар наблюдений, по которым строится уравнение регрессии, а следовательно, с потерей числа степеней свободы.
Во-вторых, использование вместо исходных уровней временных рядов их приростов, или ускорений, приводит к потере информации, содержащейся в исходных данных.

5.5. Включение в модель регрессии фактора времени

В корреляционно-регрессионном анализе можно устранить воздействие какого-либо фактора, если зафиксировать воздействие этого фактора на результат, и воздействие на другие включенные в модель факторы. Данный прием широко применяется в анализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной.  Кроме того, это могут быть не только текущие, но и лаговые значения независимой и результативной переменных.

Преимущество данной модели перед методами отклонений от трендов и последовательных разностей состоит в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, поскольку значения х_t и у_t – это уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры a и b модели с включением фактора времени определяются обычным МНК.

 

5.6. Коинтеграция временных рядов. Критерий Энгла – Грейнджера

Общий недостаток методов исключения тенденции заключается в том, что эти методы предполагают некоторую модификацию модели вследствие либо замены переменных, либо добавления в эту модель фактора времени. Однако большая часть соотношений, постулируемых экономической теорией, верификацией которых занимается эконометрика, сформулирована в терминах уровней временных рядов, а не их последовательных разностей или отклонений от трендов и предполагает измерение взаимосвязи переменных без включения в модель каких-либо дополнительных факторов (например, переменной времени).

В ряде случаев наличие в одном из временных рядов тенденции может быть следствием именно того факта, что другой ряд, включенный в модель, тоже содержит тенденцию, а не просто является результатом прочих случайных причин. Поэтому одинаковая или противоположная направленность тенденций рядов может иметь устойчивый характер и наблюдаться на протяжении длительного промежутка времени, а коэффициент корреляции, рассчитанный по уровням временных рядов, может соответственно не содержать ложной корреляции и характеризовать истинную причинно-следственную зависимость между ними.

Эти предположения были положены в основу новой теории о коинтеграции временных рядов. Под коинтеграцией понимается причинно-следственная зависимость в уровнях двух (или более) временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций и случайной колеблемости.

В соответствии с этой теорией между двумя временными рядами коинтеграция существует в случае, если линейная комбинация временных рядов – это стационарный временной ряд (т. е. ряд, содержащий только случайную компоненту и имеющий постоянную дисперсию на длительном промежутке времени).

Одним из методов тестирования гипотезы о коинтеграции временных рядов х_t и у_t является критерий Энгла – Грейнджера.

Алгоритм применения этого критерия следующий:

1. Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии коинтеграции между рядами х_t и у_t.

2. Рассчитываются параметры уравнения регрессии.

3. Определяется фактическое значение t-критерия для коэффициента регрессии а.

4. Сравнивается полученное значение с критическим значением статистики  Критические значения  рассчитанные Энглом и Грейнджером для уровня значимости 1, 5 и 10 %, составляют соответственно 2,5899; 1,9439 и 1,6177. Если фактическое значение t больше критического значения  для заданного уровня значимости , то между рядами х_t и у_t есть коинтеграция. В противном случае – отсутствует.

Коинтеграция двух временных рядов значительно упрощает процедуры и методы, используемые в целях их анализа, поскольку в этом случае можно строить уравнение регрессии и определять показатели корреляции, применяя в качестве исходных данных непосредственно уровни изучаемых рядов, учитывая тем самым информацию, содержащуюся в исходных данных, в полном объеме. Однако поскольку коинтеграция означает совпадение динамики временных рядов в течение длительного промежутка времени, то сама эта концепция применима только к временным рядам, охватывающим сравнительно длительные (например, в несколько десятилетий) промежутки времени. При наличии коротких временных рядов данных, даже если формальные критерии показали присутствие их коинтеграции, моделирование взаимосвязей по уровням этих рядов может привести к неверным результатам ввиду нарушения предпосылок теории коинтеграции.