МОДЕЛИРОВАНИЕ В СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Тема 4. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ В СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

4.1. Основы теории производственных функций.

4.2. Основные характеристики производственных функций. Геометрическая интерпретация показателей ПФ.

4.1. Основы теории производственных функций

Существует много определений производственных функций (ПФ), но все они сводятся к одному – математическому описанию зависимости между какими-либо результатами и факторами производства.

Исследователи по разным критериям выделяют несколько типов производственных функций.

1. По наличию условия оптимальности:

– мажоритарные (описывают оптимальный производственный процесс при данных затратах факторов производства). Иногда еще эти ПФ называют детерминистскими или идеальными [3, 5];

– дескриптивные (описывают существующий производственный процесс). В некоторых источниках они называются эконометрическими или реальными [3; 5];

2. По учету неопределенности:

– стохастические (учитывают условие неопределенности);

– детерминированные (не учитывают условие неопределенности).

Дескриптивные производственные функции строятся путем обработки статистических данных о соотношении затрат производства и выпуска товара. В таких функциях существует предположение о том, что сложившиеся процессы производства оптимальны и модель в таком случае строится в основном для прогнозирования. Мажоритарные производственные функции являются своеобразными оптимизационными задачами без заданных в явном виде условий оптимизации. Вид и параметры таких функций определяются путем обобщения решений оптимизационных задач при меняющихся параметрах. Например, производственная функция отрасли получается в результате решения серии задач оптимального развития отрасли при меняющихся объемах ресурсов. Такие функции чаще строятся для анализа производственных процессов.

«Процесс построения производственной функции включает этапы экономико-математического моделирования, в том числе выделения существенных факторов, включаемых в модель, выбор вида функции (математической модели), нахождение числовых значений параметров с помощью корреляционного и регрессионного анализа» [18].

В прикладных исследованиях основное внимание уделяется частным видам общей производственной функции, так как построение и анализ общей производственной функции представляют собой исключительно трудную задачу.

Производственная функция у_j = f_j(x_j), x_j = (x_1j, …, x_mj) характеризует максимально возможный объем выпуска продукта j в зависимости от затрат всех m-видов ресурсов. 

Наличие технологических процессов, выпускающих комплексно несколько видов товаров, не позволяет использовать производственную функцию у_j = f_j(x_j), но при этом не препятствует использованию функции (4.1) для технологических процессов с производством одного вида товара.

Кроме уже указанных критериев классификации производственных функций следует упомянуть еще и о критериях по типу ресурсов:

1) производственные функции со взаимозаменяемыми ресурсами;

2) производственные функции со взаимодополняемыми ресурсами.

Предположение о взаимозаменяемости ресурсов в производственной функции у_j = f_j(x_j) означает, что один и тот же объем выпуска продукции может быть достигнут при разных комбинациях использования ресурсов, отличающихся величиной затрат одних ресурсов от других.

Далее мы будем опускать индекс j, когда речь идет о функциях производства одного продукта.

Существует два свойства производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами [3]:

1. Если x = 0, то и y = 0.

2. Если х^A ≥ x^B, то f(х^A )≥ f(x^B), причем если х^A > x^B, то f(х^A ) ≥  f(x^B). Из этого, в частности, следует, что у > 0 при х > 0. В том случае, когда увеличение производственных затрат какого-либо ресурса s сверх величины  приводит к уменьшению объема производства, надо непосредственно использовать , а излишек  оставить в резерв. Если y = 0 при положительных затратах многих ресурсов, но при x_s = 0, то это означает, что ресурс s абсолютно необходим для производства хотя бы в малых количествах (например, труд, электроэнергия и т. п.).

4.2. Основные характеристики производственных функций.
Геометрическая интерпретация показателей ПФ

Рассмотрим основные характеристики производственных функций. Эффективность системы характеризуется соотношением затрат и ресурсов.

Для качественной оценки используется три типа показателей:

– средние;

– предельные;

– эластичность.

1. Средняя производительность i-го ресурса

Показывает объем продукции, приходящийся на каждую единицу затрат соответствующего ресурса.

2. Предельная производительность (предельный продукт) i-го ресурса

Показывает, какой дополнительный выпуск продукции приходится на каждую дополнительную единицу затрат соответствующего ресурса при условии, что затраты других ресурсов не изменяются, т. е. выражает вклад ресурса в прирост продукции.

3. Эластичность выпуска по i-му ресурсу (отношение предельной производительности i-го ресурса к его средней производительности):

 Показывает (приближенно), на сколько процентов увеличится выпуск, если затраты i-го ресурса увеличатся на 1 % при неизменных объемах других ресурсов.

4. Эластичность производства:         

Показывает (приближенно), на сколько процентов изменится выпуск при изменении масштаба производства на 1 %.

5. Предельная норма технической замены (замещения) фактора j-го фактором i-м:

Показывает, что одного и того же выпуска можно достичь, используя различные сочетания ресурсов. Этот показатель равен обратному соотношению их предельных производительностей и показывает (приближенно), на сколько единиц необходимо увеличить затраты фактора i при неизменном выпуске, если затраты фактора j уменьшаться на единицу. Минус показывает, что при увеличении затрат одного ресурса необходимо уменьшить затраты другого ресурса.

6. Эластичность замещения ресурсов в точке х:

 Показывает, на сколько процентов должно измениться соотношение затрат i-го вида, чтобы при этом предельная норма замещения изменилась на 1 % при неизменном выпуске.

 Анализ таких функций позволяет легко перейти к общему случаю, когда количество ресурсов может быть любым. Кроме того, производственные функции двух аргументов широко используются в практике, когда исследователя интересует зависимость объема выпуска продукта от важнейших факторов – затрат труда (L) и капитала (K): q = f(L, K).

График функции двух переменных невозможно изобразить на плоскости. Производственную функцию вида q = f(x₁, x₂) можно представить в трехмерном декартовом пространстве, две координаты которого (x₁ и x₂) откладываются на горизонтальных осях и соответствуют затратам ресурсов, а третья (q) откладывается на вертикальной оси и соответствует выпуску продукта (рис. 4.1, а). Если затраты одного ресурса зафиксировать, то получим кривую выпуска. На графике кривая выпуска представляет собой вертикальный срез, параллельный одной из осей x₁, x₂ и перпендикулярный другой оси. На рис. 4.1, а на срезе ресурс x₂ зафиксирован на уровне x₂*.

 

Рис. 4.1. График производственной функции для двух ресурсов:
на срезе а – кривая выпуска; б – изокванта

На практике трехмерными графиками пользоваться неудобно, поэтому вместо них используют карту изоквант или семейство кривых выпуска (рис. 4.2).

Изокванта (греч. isoz – одинаковый и лат. quantum – количество) – линия, обозначающая разные сочетания ресурсов, которые обеспечивают одинаковый выпуск продукции. Она является горизонтальным срезом трехмерного графика.

 Основные свойства изоквант:

1) изокванты никогда не пересекаются друг с другом;

2) большему выпуску соответствует более удаленная от начала координат изокванта;

3) если необходимы абсолютно все ресурсы, то изокванты не имеют общих точек с осями координат;

4) изокванты имеют отрицательный наклон, так как при увеличении затрат одного ресурса объем производства можно сохранять на том же уровне при меньших затратах другого ресурса.

Нетрудно заметить, что производственная функция во многом похожа на функцию полезности в теории потребления, изокванта – на кривую безразличия, карта изоквант – на карту безразличия. И дело тут не в простом сходстве. По отношению к ресурсам фирма ведет себя как потребитель, и производственная функция характеризует именно эту сторону производства – производство как потребление. Тот или иной набор ресурсов полезен для производства постольку, поскольку он позволяет получить соответствующий объем выпуска продукта. Можно сказать, что значения производственной функции выражают полезность для производства соответствующего набора ресурсов. В отличие от потребительской полезности эта «полезность» имеет вполне определенную количественную меру – она определяется объемом производимой продукции.

То обстоятельство, что значения производственной функции относятся к технически эффективным вариантам и характеризуют наибольший выпуск продукции при потреблении данного набора ресурсов, также имеет аналогию в теории потребления. Потребитель может по-разному использовать приобретаемые блага. Полезность покупаемого набора благ определяется таким способом их использования, при котором потребитель получает наибольшее удовлетворение.

Однако при всех отмеченных чертах сходства потребительской полезности и «полезности», выражаемой значениями производственной функции, это совершенно разные понятия. Потребитель сам, исходя только из своих собственных предпочтений, определяет, насколько полезен для него тот или иной продукт, покупая или отвергая его. Набор производственных ресурсов, в конечном счете, окажется полезным в той мере, в какой будет одобрен потребителем тот продукт, который произведен с использованием этих ресурсов.