3.1. Предпочтения потребителя. Функции полезности и их свойства

3.1.1.Пространство товаров

Исходя из основной задачи теории потребления, в матема­тической модели поведение потребителя связано с выбором набора товаров из некоторого доступного ему множества товаров, кото­рый был бы наиболее полезным для потребителя. Понятие товара дано во введении. Пусть имеется конечное число т различных товаров. Будем предполагать, что любой товар обладает свойством произвольной делимости, хотя на самом деле не все их виды можно делить (например, станки, мосты, здания и т.п.). Тогда, если обозначать через x_i – количество i-ro товара (в соответст­вующих единицах измерения), а через х = (х₁,...,х_m) – набор закупаемых потребителем товаров, то х представляет собой точку m-мерного евклидова пространства  R^m .  Ясно, что с физической точки зрения x_i >0 (x_i > 0, если i-й товар закупается, x_i = 0 – если не закупается). Таким образом, пространством товаров {commodity space, consumption set) в математической модели тео­рии   потребления   является   неотрицательный   ортант   m-мерного евклидова пространства: = {х = (х₁, ..., х_т): x_i 0, i = 1,т }.

Пусть Х  – некоторое множество из пространства то­варов, доступное для потребителя (набор товаров). Тогда основная задача по­требления (consumption problem) состоит в выборе точки х X, наиболее предпочтительной с точки зрения потребителя. В общей теории потребления для сравнения наборов товаров вводят поня­тие отношения предпочтения и на основе аксиом, которым удов­летворяет это отношение, определяют функцию полезности, как индикатор полезности (utility) наборов товаров.

В пространстве товаров можно сложить любые два набора и умножить любой набор товаров на любое неотрицательное число, но нельзя вычитать, т.к. рискуем получить отрицательное количество какого-то либо товара. Возможность умножения набора товаров на любое неотрицательное число отражает предположение о безграничной делимости и умножении товаров (т.е. товары устроены наподобие сахарного песка, а не авианосцев). Набор товаров можно трактовать, как корзину, в которой лежат эти товары в соответствующем количестве. Аналогично интерпретируются и операции с наборами товаров. Решение потребителя о покупке определенного набора товаров математически - выбор конкретной точки в пространстве

3.1.2        Отношение предпочтения. Аксиомы

Одним из основных элементов – участников экономики – является домашнее хозяйство, определяемое как некоторая группа индивидуумов, выступающая как единое целое, распределяющая свой доход на покупку и потребление товаров и услуг. В общем, участник экономики, рассматриваемый с этой точки зрения, называется потребителем. Проблема рационального поведения потребителя заключается в решении вопроса о том, какие количества товаров или услуг он хочет и может приобрести при заданных ценах и его доходе. Специально отметим, что существуют разные точки зрения на роль индивидов-потребителей. В неоклассической экономической теории эта роль является основной, определяющей. Вся остальная экономика вырастает из желаний и потребностей такого индивида.

Пусть X – произвольное непустое множество. Бинарным отношением на множестве X называется любое подмножество G декартова квадрата X х X = = {(х, у): х X, у X), т.е. любое подмножество упорядоченных пар элементов из X. Если (х, у) G, то говорят, что элемент х находится в отношении G к элементу у. Существуют различные обозначения бинарного отно­шения. Ниже указаны некоторые из них.

Пусть X – некоторое выпуклое множество, на кото­ром определены интересы потребителя. Каждый потребитель имеет свои предпочтения. Будем считать, что на множестве  X задано  бинарное  отношение ,  которое  называют отношением  предпочтения  (preference  relation).

 Запись х  у означает, что с точки зрения потребителя набор товаров х пред­почтительнее    набору    у    или    же    оба    набора    равнозначны (х, у  X).

Запись x ~ y – оба набора обладают одинаковой степенью предпочтения.

Запись x  y –  набора х строго предпочтительнее набора у.

Считается, что отношение предпочтения должно удовлетворять сле­дующим условиям:

 Аксиома 1.1 (рефлексивности):   х  х . Рефлексивность означает, что любой набор товаров равноценен сам себе.

Аксиома 1.2 (транзитивности). Из х  y, y z  следует х  z .

Свойство транзитивности, которым обладают отношения предпочтения и слабого предпочтения, не совсем очевидно, не очень наглядно и не сразу осознается потребителем, но если ему объяснить, что получится, если его система предпочтений не транзитивна, то он согласится, что свойство транзитивности должно быть, и произведет необходимую переоценку привлекательности для него тех или иных наборов товаров.

Аксиома 1.3 (совершенства). Для любой пары х, у е X либо х  y, либо y x  , либо и то и другое. Совершенность означает, что индивид в состоянии сравнить по привлекательности любые два набора товаров.

В последнем случае пишут x ~ y и говорят, что набор х без­различен набору у. Для любого х X множество 1_Х = {у X: х ~ у] называют множеством безразличия (indifference set), множества Р_х = {у X: y x}, NP_X = {у X: х  y) — соответст­венно множествами предпочтений (preference set) и непредпочтений.

Аксиома  1.4 (непрерывности). Для каждого х X множества Р_х ={у X: у  х} и  NP_X ={у  X: x y} (строгого пред­почтения и непредпочтения) открыты в X.

Запись x y означает, что набор x предпочтительнее набору у.

Заметим, что I_x = P_x NP_x.

Аксиома 1.5 (ненасыщения). Для любых двух наборов х, у X из условия х  y следует, что х предпочтительнее y, причем если х  y (х  у), то x y.

Эта аксиома означает, что если в наборе х количество каж­дого товара не меньше, чем в наборе у, причем хотя бы одного товара в наборе х больше, чем в наборе у, то набор х предпочти­тельнее набору у.

Точкой насыщения называется наиболее предпочтительный набор х X, т.е. такой, что х  y  . Аксиома 5 говорит, что не существует точки насыщения.

Аксиома 1.6 (выпуклости). Если y  х, то  вы­полняется соотношение

 ау + (1 - а)х х. Это означает, если y предпочтительнее x, то любая их смесь предпочтительнее х. На рисунке 2.1 изображены множества I_x, Р_х, NP_X  и смысл аксиомы 1.6

                               х₂

                                                                       х₁

Рис. 2.1 Множество безразличия, предпочтений и непредпочтений в случае двух товаров

Выпуклость означает, что лучше иметь комбинацию товаров, пусть в меньших количествах, чем просто только какой-то один из этих товаров (лучше иметь немножко соли, сахара, кофе, хлеба, чем одну только соль, один сахар, кофе, хлеб, хотя бы и в большем количестве).

3.1.3. Функция полезности. Аксиомы. Свойства

Отношение предпочтения в пространстве товаров является довольно громоздким инструментом с ограниченными возможностями. Оно является больше качественной категорией и не приспособлено для проведения коли­чественных исследований. Поэтому целесообразно введение численного ин­дикатора, который сопоставил бы каждому набору товаров X  некоторый показатель удовлетворенности u(x) . Чем выше этот показатель, тем выше степень удовлетворенности. Это приводит нас к следующему определению.

Определение. Функция и(х) определённая на множестве Х, называется функцией полезности, представ­ляющей отношение предпочтения , если и(х)  и(у) тогда и только тогда, когда х  у.

Исторически понятие функции полезности предшествовало понятию отношения предпочтения. Экономисты XIX в. (У. Джевонс, К. Менгер, Л. Вальрас) предположили, что потребитель способен оценивать потребляемые им блага с точки зрения величины полезности, приносимой этими благами, причем целью потребителя является максимизация полезности. Полезность это не объективное свойство благ, а субъективное отношение людей к благам (величину полезности может определить только сам потребитель, а полезность одного и того же блага для разных людей различна).

Даже полезность одинаковых порций одного и того же блага для потребителя может быть различной. Полезность от потребления этого блага (например, воды) зависит, по нашему предположению, лишь от количества потребляемых единиц данного блага (стаканов или глотков воды). Это утверждение можно записать следующим образом:   

  u_i = f(x_i),                                                                   (2.1)

где u_i полезность, получаемая потребителем от потребления некоторого количества блага; x_i количество потребляемых единиц блага.

Свойства функции (2.1). Во-первых, эта функция имеет возрастающий характер, т. е. каждая дополнительная единица блага увеличивает общую полезность (по крайней мере, до некоторой точки насыщения), а во-вторых, что каждая следующая единица блага приносит меньшее увеличение общей полезности, чем предыдущая, т. е. приращение общей полезности (предельная полезность) уменьшается с увеличением количества потребляемых единиц блага.

Понятно, что функция (2.1) позволяет полностью описать систему предпочтений потребителя в том только случае, если все потребление ограничивается одним единственным благом (правда, тогда и задача выбора была бы весьма проста потребитель приобретал бы этого блага так много, как это возможно, если бы только не достигал ранее точки насыщения).

К счастью, в действительности наши возможности выбора значительно богаче. Утолить жажду можно не только водой, но и чаем, кофе и пепси-колой, а выпить это можно с хлебом, пирожками, вареньем или конфетами, причем как сосуды для питья могут быть использованы эмалированная кружка, граненый стакан или фарфоровая чашка. Следовательно, потребитель должен определить общую полезность всего набора потребляемых им благ и максимизировать именно эту общую полезность. Первопроходцы теории полезности (У. Джевонс и др.) представляли себе полезность как простую сумму полезностей всех входящих в некоторый набор благ (при этом полезность, извлекаемая из потребления каждого отдельного блага, по-прежнему зависит лишь от объема потребления этого блага):  

    U = u₁(x₁) + u₂(x₂) + … +u_n(x_n),                                                 (2.2)

где U – общая полезность от всего набора потребляемых благ; u₁, u₂,..., u_n – полезности от потребления благ: 1, 2,.... n; x₁, x₂,..., x_n – объемы потребления блага 1, 2,..., n.

Отметим, что такой подход покоится на неявной предпосылке о независимости полезностей отдельных блага. В самом деле, только при предположении о независимости полезности, например, куска хлеба от количества съеденных бифштексов, можно рассматривать полезность хлеба и бифштексов отдельно, а потом складывать эти полезности друг с другом. В действительности многие товары взаимосвязаны в процессе потребления: некоторые могут потребляться совместно (взаимодополняющие товары), другие, напротив, служить удовлетворению одной и той же потребности (товары-заменители). Это обстоятельство вызвало резкую критику рассмотренного выше подхода к функции полезности (2). В результате развернувшейся дискуссии экономисты пришли к единому мнению: бессмысленно говорить о полезности трех пирожных, не зная, съедены ли они всухомятку, со стаканом кипятка или с чашкой кофе, так же, как бессмысленно говорить о полезности стакана воды, не зная, сколько стаканов пепси-колы в распоряжении потребителя. Иными словами, необходимо рассматривать не полезность от потребления некоторого отдельно взятого товара, а полезность от всего набора потребляемых благ. Следовательно, функция полезности принимает вид     

 U = f(x₁,x₂,…x_n)                                                        (2.3)

или (для упрощения записи):    

  U = f(X),                                                                (2.4)

где X = (x₁,x₂,…x_n) – набор благ 1, 2,..., n.

Отказ экономистов от функций полезности (2.1) и (2.2) и переход к функции полезности (2.3) ярко обнажил еще одно весьма уязвимое место в ранней теории полезности. Эта теория основывалась на кардиналистском (количественном) подходе к полезности, предполагавшем теоретическую возможность измеримости полезности в ютилях. Большинство экономистов соглашались, что потребитель способен сравнивать различные наборы благ с точки зрения отношения предпочтения и безразличия, но предпосылка о том, что потребитель может с точностью сказать, сколько единиц полезности он получил от того или иного набора благ, казалась многим экономистам явно нереалистичной.

В противоположность кардиналистскому был выдвинут ординалистский (порядковый) подход, не предполагающий возможности измерения полезности и основанный на простой возможности сравнения и упорядочения потребителем товарных наборов с точки зрения их предпочтительности. Этот подход, требующий от теории поведения потребителя значительно менее жестких допущений, чем количественный подход, выглядел в глазах экономистов и более близким к реальности.

Выясним, всегда ли можно отношение предпочтения представить функцией полезности. Для ответа без доказательств примем теорему Дебре.

Теорема (Дебре). Если множество X связно, то при выполнении аксиом 1.1-1.4 функция полезности существует.

При использовании порядковой полезности для любого отношения предпочтения можно построить множество функций полезности. Например, мы можем использовать следующие функции полезности: u(х) = ах +b, или u(х) = х² .

Для потребителя все эти функции полезности равнозначны. Он не в со­стоянии отдать предпочтение одной из них перед множеством возможных других, так как все они отражают одно и то же отношение предпочтения. Различие этих функций касается различных «масштабов» измерения полез­ности и не является принципиальным.

В терминах функции полезности аксиомы 1.5, 1.6 можно пере­фразировать следующим образом:

Аксиома 1.5а. (ненасыщения) Из х  у следует U(x) U(y), причем, если х  у, х  у, то U(x) U(y).

Из этого определения видно, что в случае ненасыщаемости функция полезности не достигает своего максимума на множестве X: для любого у X найдется  х X, который имеет большую полезность, чем y. Мы можем сделать так же вывод, что функция полезности является возрастающей на всей области определения.___________________

Аксиома 1.6а (выпуклости) При любом   множество {х X: U(x) > } является выпуклым. Аксиома 1.6а утверждает, что U(x) – квазивогнутая функция (quasi-concave function).

Вспомним, что такое выпук­лая и вогнутая функции и какова их взаимосвязь с выпуклыми множествами.

Определение: Функция f(х), определённая на выпуклом множестве Х называется выпуклой, если для любых двух точек х₁  и х₂ X и  выполняется неравенство

   Рис. 2.2.а. Функция f(х), называется строго выпуклой, если это неравенство выполняется как строгое.

Определение: Функция f(х), определённая на выпуклом множестве Х называется вогнутой, если для любых двух точек х₁  и х₂ X и  выполняется неравенство

   Рис. 2.2.б. Функция f(х), называется строго вогнутой, если это неравенство выполняется как строгое.

f(x)                                                f(x)

          х₁                                   х₂        х               х₁                    х₂           х          

                   а)                                                    б)

Рис. 2.2 Выпуклая (а) и вогнутая (б) функция

Выпуклость множества является необходимым, но недостаточным условием выпуклости или вогнутости функции f(x). Необходимо чтобы выполнялось ряд дополни­тельных условий (число которых достаточно велико, причем работы в этом направлении продолжаются и в настоящее время). В связи с этим использу­ется понятие квазивыпуклости и квазивогнутости функции.

Определение. Пусть функция f(x) определена на непустом и выпуклом множестве R. Функция f(x) квазивыпукла, если для любых и выполняется неравенство  Функция f(х), называется строго квазивыпуклой, если это неравенство выполняется как строгое.

Определение. Пусть функция f(x) определена на непустом и выпуклом множестве R. Функция f(x) квазивогнута, если для любых и выполняется неравенство . Функция f(х), называется строго квазивогнутой, если это неравенство выполняется как строгое.

На рис. 2.3 приведены примеры квазивыпуклых и квазивогнутых функций, где а - квазивыпуклая, б - квазивогнутая функции.

Рис. 2.3 Квазивыпуклая (а) и квазивогнутая (б) функции

Строго квазивыпуклые и квазивогнутые функции играют важную роль в нелинейном программировании, поскольку для них локальный минимум и локальный максимум являются глобальным минимумом и максимумом соответственно.

В теории потребления предполагается, что функция полезности обладает следующими свойствами:

1)  – с ростом потребления блага полезность растёт; ( ) – предельная полезность i-го продукта).

2)  – с ростом потребления блага скорость роста полезности замедляется (первый закон Госсена);

3) – небольшой прирост блага при его первоначальном отсутствии резко увеличивает полезность;

4) – при очень большом объёме блага его дальнейшее увеличение не приводит к увеличению полезности.

3.1.4 Функция полезности для задачи производственного потребления

Ранее функция полезности введена аксиоматически, исходя из отношения предпочтения. Подойдем теперь к этому понятию с другой стороны.

Как известно из реальной жизни, любые продукты могут служить не только потребительскими благами (товарами) для отдельного индивидуума (или отдельной семьи), но и как произ­водственные факторы (сырьевые ресурсы, factors of production) для фирмы (второго основного участника экономической систе­мы). Например, сахар можно рассматривать как потребительское благо, если он покупается для употребления в пищу. С другой стороны, его можно рассматривать как сырьевой материал, если он приобретается кондитерской фабрикой для производства кон­дитерских изделий. В последнем случае сахар выступает в роли производственного фактора. В свою очередь, ту же кондитерскую фабрику мы можем рассматривать, с одной стороны, как потреби­теля товаров, если она решает задачу рационального использова­ния сырьевых материалов (товаров) при ограниченных денежных средствах, имеющихся у нее (бюджете), с другой стороны, – как производителя (фирму), если решается производственная задача выпуска продукции. Таким образом, любой продукт может вы­ступать и как товар, и как производственный фактор, а любая производственная единица может выступать как в роли потреби­теля, так и в роли фирмы в зависимости от решаемой задачи. Будем рассматривать производственную единицу как потребителя, а используемые ею сырьевые материалы как товары.

Пусть некоторое предприятие выпускает продукцию п типов и использует при этом т видов производственных факторов, ко­торые, как сказано выше, выступают в данном случае в роли то­варов. Введем обозначения: а_ij – количество i-го товара, необхо­димое для производства единицы j-й продукции; z_j – количество продукции j-го типа, планируемое для выпуска,  d_*j , d_j ^* – нижняя и верхняя границы выпуска; b_*i , b_i ^* – нижняя и верхняя грани­цы для закупаемого i-го товара (все величины заданы в соответст­вующих единицах измерения).

Совокупность z=z(x)=(z_j(x), j J = {1, ..., п}) назовем пла­ном производства (production plan) для доступной совокупности товаров х = (x_i i I = {1, ..., т})

b_*i  b_i ^*  , i I                                                               (2.5)

если выполняются ограничения

                                                                  (2.6)

d_*j  d_j ^* , j J                                                                  (2.7)

Множество планов обозначим Z(x). В общей теории полезно­сти, известной из различных литературных источников, не вво­дится модель потребителя – ее полномочным представителем служит функция полезности, которая, как правило, вводится ак­сиоматически, исходя из отношения предпочтения. С помощью этой функции оценивают полезность закупаемых то­варов. Однако в общем случае отсутствуют четкие правила по­строения функции полезности, что затрудняет решение конкрет­ных задач потребления. Определим функцию полезности с помощью модели потре­бителя.

Полезность набора х может оцениваться по-разному, в зави­симости от цели производства. Предположим, что такой целью является получение максимальной прибыли , которая равна

  ,                                                      (2.8)

где – доход, – издержки, с_j – цена единицы продукции j-го типа, р_i – цена единицы товара i-го вида.

Функцию, равную максимальной прибыли для набора това­ров х , т.е.

   ,                                      (2.9)

где , будем называть функцией полезности производственного потребления (utility function of production consumption). Она естественным образом вводит отношение предпочтения на множестве товаров в конкрет­ной рассматриваемой задаче: набор товаров х^* предпочтительнее набора х тогда и только тогда, когда U(x^*) U(x).

Как отмечалось выше, введенная функция полезности ха­рактеризует полезность товаров для предприятия с точки зрения получаемой прибыли. Если в основу положить доход R(z\x), то получим другую функцию полезности:

     .                                    (2.10)

Понятно, что для предприятия можно предложить и иные функции полезности.

3.1.5 Предельная (маргинальная) полезность

Теория предельной полезности базируется на том, что хотя потребности людей вообще говоря, безграничны - потребность в определенном товаре может быть удовлетворена. Чем большее количество товаров приобретают потребители, тем меньше их стремление к при­обретению дополнительных единиц этого же товара: например, потребность чело­века в автомобиле, если он его не имеет, может быть очень сильной; желание иметь вторую машину гораздо менее интенсивно; а что касается третьей или четвертой машины, то потребность в них очень слаба. Даже очень богатые семьи редко имеют больше четырех-пяти машин, несмотря на то что их доходы позволяют купить и содержать целый автомобильный парк.

Под предельной (маргинальной) величиной понимается численное значение допол­нительного эффекта, обусловленного вовлечением в дело дополни­тельной единицы рассматриваемого фактора. Таким "предельным" понятиям в математике соответствует производная.

Если рассматривать U(x) как полезность выбранного набора товаров х, то  называют предельной (маргинальной) полезностью (marginal utility) i-гo товара.

В общей теории полезности предполагается, что функция полезности удовлетворяет условию ненасыщения (или ненасы­щаемости, аксиома 1.5а). Другими словами, потребитель не на­сыщаем. В реальной жизни потребитель, как правило, насыщаем. Условие ненасыщаемости скорее нужно математикам лишь теоре­тически, для обоснования тех или иных математических выкла­док. Поэтому для функций полезности дополнительно требуют строгой вогнутости (strictly concavity),  в результате чего для любого набора товаров х будем иметь: MU_i (х) > 0, i = 1,т.

Требование ненасыщаемо­сти не выполняется. Для функции полезности (1.6а) для каждого i, начиная с некоторого значения   ,  происходит насыщение, т.е. увеличение потребления i-то товара для значений x_i >  при не­изменном потреблении остальных товаров не ведет к увеличению полезности (дохода). Для функции полезности (1.5а) аналогично: начиная с некоторого значения  происходит насыщение. Более того, увеличение потребления этого продукта при неизменном потреблении остальных продуктов становится вредным, поскольку, как было указано выше, полезность умень­шается (прибыль становится отрицательной, т.е. производство становится убыточным. Таким образом, отказ от условия ненасыщения приводит к более реальным результатам с практической точки зрения.

Заметим, что если f{t) – неубывающая функция скалярного аргумента t, то, очевидно, f(U(x)) тоже будет функцией полезно­сти, удовлетворяющей указанным выше свойствам. В связи с этим полезность набора товаров может измеряться как в конкрет­ных единицах (кардиналистское направление в теории полезно­сти), так и в относительных (ординалистское направление).

3.1.6 Законы Госсена

Итак, в количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку в ютилах полезности любого потребляемого им товарного набора. Формально это можно записать в виде функции общей полезности:

TU = F(QA, QB, ..., QZ),                                                    (2.11)

где TU - общая полезность данного товарного набора; QA, QB, QZ - объемы потребления товаров А, В, ..., Z в единицу времени.

Большое значение имеют предположения о характере функции общей полезности.

Зафиксируем объемы потребления товаров B,C,...,Z. Рассмотрим, как изменяется общая полезность товарного набора в зависимости от объема потребления товара А.

Рис. 2.4 Общая и предельная полезность

В верхней части рис. 2.4a изображена эта зависимость. Длина отрезка ОК равна полезности товарного набора при фиксированных нами объемах товаров В, С,..., Z и при нулевом объеме потребления товара А. В количественной теории предполагается, что функция TU в верхней части рис. 2.4а возрастающая (чем больше товара А, тем большую полезность имеет товарный набор) и выпуклая вверх (каждое последующее единица А увеличивает общую полезность товарного набора на меньшую величину, чем предыдущее). В принципе эта функция может иметь точку максимума (S), после которой она становится убывающей.

В нижней части рис. 2.4а изображена зависимость предельной полезности товара А от объема их потребления.

Геометрически значение предельной полезности (длина отрезка ON) равно тангенсу угла наклона касательной к кривой TU в точке L. Поскольку линия TU выпукла вверх, с увеличением объема потребления А-того товара угол наклона этой касательной уменьшается и, следовательно, понижается и предельная полезность товара. Если при некотором объеме его потребления функция общей полезности достигает максимума, то одновременно предельная полезность товара становится нулевой.

Принцип убывающей предельной полезности часто называют первым законом Госсена, по имени немецкого экономиста Г. Госсена (1810-1859), впервые сформулировавшего его в 1854 г. Этот закон содержит два положения. Первое констатирует убывание полезности последующих единиц блага в одном непрерывном акте потребления, так что в пределе достигается полное насыщение этим благом. Второе констатирует убывание полезности первых единиц блага при повторных актах потребления.

Принцип убывающей предельной полезности заключается в том, что с ростом потребления какого-то одного блага (при неизменном объеме потребления всех остальных) общая полезность, получаемая потребителем, возрастает, но возрастает все более медленно. Математически это означает, что первая производная функции общей полезности по количеству данного блага положительна, а вторая - отрицательна:

,                                             (2.12)

Однако принцип убывающей предельной полезности отнюдь не универсален. Во многих случаях предельная полезность последующих единиц блага сначала увеличивается, достигает максимума и лишь, затем начинает снижаться. Такая зависимость характерна для небольших порций делимых благ. Вторая затяжка выкуриваемой утром сигареты, возможно, имеет для любителя большую полезность, чем первая, а третья большую, чем вторая.

Такая ситуация показана на рис. 2.4б в интервале от нуля до Q'A общая полезность возрастает быстрее, чем увеличивается объем потребления блага, растет и предельная полезность. В следующем интервале общая полезность растет медленнее, чем объем потребления, а предельная снижается от максимального уровня (в точке L') до нуля. Математически это означает, что на участке от нуля до Q'A и первая, и вторая частные производные функции общей полезности по объему потребления данного блага положительны:

,                                                    (2.13)

Таким образом, принцип убывающей предельной полезности, или первый закон Госсена, справедлив лишь в том случае, если вторая частная производная функции общей полезности отрицательна. Однако поскольку потребитель покупает на рынке не отдельные акты потребления, а определенные блага, мы можем считать, что для обращающихся на рынке товаров первый закон Госсена выполняется.

Для строго вогнутых дважды диф­ференцируемых функций полезности U(x) матрица вторых производных Н(х) называют матрицей Гессе. Она будет отрицательно определенной. (Критерий Сильвестра: Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны. Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.)

Из отрицательной опре­деленности  матрицы Н(х), в частности, следует, что . Последнее  означает,   что   предельная  полезность MUj(x) j-го товара уменьшается при увеличении его потребления. Матрица Гессе также является квадратной симметрической матрицей. Матрица Гессе имеет вид:

=Н(х)

…………………………….

Из второго закона Госсена следует, что увеличение цены какого-либо блага (при неизменных ценах на все прочие блага и том же доходе) ведет к падению соотношения предельной полезности от его потребления и цены.  

Снижение предельной полезности означает меньшую готовность индивида платить за данное количество, то есть более низкий спрос.  Итак, линия предельной полезности является также линией спроса. Объемом спроса на какой-либо товар называют максимальное количество этого товара, которое согласно купить отдельное лицо, группа лиц или население в целом в единицу времени при определенных условиях.

Предположим теперь, что потребитель располагает некоторым доходом; цены на товары A, B, ..., Z не зависят от его поведения и равны соответственно PA, PB, ,PZ товарного дефицита нет; все товары являются бесконечно делимыми (как, например, колбаса, сливочное масло и т.д.).

При этих предположениях потребитель достигнет максимума удовлетворения, если он распределит свои средства на покупку различных товаров таким образом, что:  1) для всех реально покупаемых им товаров А, В, С,... имеет место:

 ,                                          (2.14)

где MU_A, MU_B, MU_C - предельные полезности товаров А, В, С; l - некоторая величина, характеризующая предельную полезность денег;

2) для всех непокупаемых им товаров Y, Z,... имеет место:

 ,                                           (2.15)

Равенство (2.14) показывает, что в оптимуме (максимум полезности при данных вкусах потребителя, ценах и доходах) полезность, извлекаемая из последней денежной единицы, потраченной на покупку какого-либо товара, одинакова, независимо от того, на какой именно товар она израсходована.

3.1.7 Норма, предельная норма замещения двух товаров

Рассмотрим проекцию линии пересечения гиперповерхности безразличия «плоскостью» x_s =  , s = 1,т, s≠i,j (  – фиксированные числа) на плоскость двух товаров 0 х_i x_j , получим линию безразличия. Вдоль линии безразличия полезность не меняется (U(х) = const). Другими словами, будем считать, что по­требление всех товаров, за исключением i-го и j-го, постоянно. Возникает вопрос: можно ли заменить i-й товар j-м и в каких количествах, чтобы полезность двух наборов была одинаковой?

Рассмотрим случай двух товаров х₁ и х₂. Итак, ∆x₂  и ∆x₁ количества заменяемых друг на друга товаров. Величину ∆x₂/∆x₁ называют нормой замещения 1-го товара на 2-й.

Записывая отношение ∆x₂/∆x₁, всегда будем считать и числитель, и знаменатель малыми числами, описывающими предельные изменения по сравнению с исходным потребительским набором. По мере того как ∆x₁ уменьшается, ∆x₂/∆x₁, как это видно из рис. 5, приближается к наклону кривой. Тогда пропорция измеряет предельную норму замещения товара 1 товаром 2.

Значит предельная норма замещения - коэффициент, показывающий в какой пропорции одно благо замещается на другое благо при условии, что их общая полезность для потребителя остается без изменений. По мере сокращения блага его предельная норма замещения возрастает.

      Поэтому отношение, определяющее MRS, всегда будет описывать наклон кривой безразличия — пропорцию, в которой потребитель готов заместить чуть большим потреблением товара 2 чуть меньшее потребление товара 1.

                                              (2.16)

т.е. норма замещения j-го товара i-м равна обратному отношению их предельных полезностей, взятому с обратным знаком. Графическое представление в случае двух товаров представлено на рис. 2.5.

Рис. 2.5  Графическое представление предельной нормы замещения в случае двух товаров

Слегка смущающим моментом в отношении MRS является то, что, как правило, это число отрицательное. Мы уже видели, что монотонные предпочтения подразумевают отрицательность наклона кривых безразличия. Поскольку MRS есть численная мера наклона кривой безразличия, она, естественно, будет отрицательным числом.

Из выражения (2.16) следует:

                                                           (2.17)

Итак, согласно (2.17) на тех участках линии безразличия, где MU_j · MU_i > 0, увеличение потребления одного товара ведет к уменьшению потребления другого товара; там же, где MU_j · MU_i < 0 наоборот, увеличение потребления одного товара ведет к увеличению потребления и другого. В случае, если MU_j · MU_i ⁼ 0, товары не замещаемы.

 Основные свойства MRS:

·            Предельная норма замещения товара х₂ товаром х₁ равна отношению их предельных полезностей, то есть MU₁ к MU₂. Отрицательный знак в выражении означает, что чем больше одного товара (х₁), тем меньше другого товара (х₂) должно быть в потребительском наборе, с тем чтобы совокупная полезность осталась неизменной.

·            Если любые две точки на кривой безразличия сливаются в одну, то MRS равна тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия в данной точке.

·            Предельная норма замещения имеет значение только при движении по кривой безразличия, но никогда — при перемещении между кривыми

·            Принцип убывания MRS не является универсальным и выполняется только для кривых безразличия стандартного вида.

3.1.8. Функция полезности для задачи личного потребления

Рассмотрим теперь случай личного потребления. Типичной задачей личного потребления является задача о диете (nutrient problem). Здоровая пища содержит п питательных веществ в оп­ределенных пропорциях. Обозначим через d₁, d₂, ..., d_n – количество питательных веществ в единице такой пищи. Для ее приготовле­ния используются т продуктов. Обозначим через х = (х₁, ..., х_т) некоторый фиксированный набор продуктов. Известно, что в еди­нице j-го продукта содержится a_ij единиц i-го питательного веще­ства. Пусть z_j – количество j-го продукта, закупаемого для при­готовления пищи объема λ. Тогда должны выполняться ограниче­ния:

                                                             (2.18)

0 x_j  , j J =                                                                (2.19)

Множество векторов z = z(x) = (z_j, j J), удовлетворяющих (2.18), обозначим через Z(x). Товарами здесь выступают закупаемые продукты x_j, j J. Ясно, что величина λ зависит от объема закупаемых продуктов z, т.е. λ = λ(z\x).

Функцию

                                         (2.20)

назовем функцией  полезности  задачи  личного  потребления.

При закупке продуктов потребитель может преследовать и другие цели. Тогда получим другую функцию полезности. Функция (2.20) того же типа, что и функция (2.21), поскольку ее зна­чения определяются с помощью задачи линейного программирования.

В подробной записи задача (2.20) для каждого набора х имеет вид:

                                                                  (2.21)

В дальнейшем для сокращения объема материала будем рас­сматривать только задачу производственного потребления, как более сложную.

3.2. Оптимизационная задача потребления

3.2.1. Бюджетное ограничение. Допустимое множество потребителя. Бюджетная линия

      

Экономическая теория поведения потребителя очень проста: экономисты полагают, что потребители выбирают лучший товарный набор, который могут себе позволить. Чтобы наполнить эту теорию конкретным содержанием, мы должны более точно описать, что именно подразумевается под "лучшим" и что именно подразумевается под "могут себе позволить".

Начнем с рассмотрения понятия бюджетного ограничения. Предположим, что имеется некое множество товаров, в пределах которого потребитель может осуществлять свой выбор. . Тогда цену всех товаров можно представить вектором . Обозначим доход потребителя К. Стоимость набора товаров равна   или сокращённо px.Поскольку расходы на приобретение не могут превышать дохода можно записать  px≤К.

 Множество  называют допустимым множеством потребителя.

Множество  называют бюджетным множеством потребителя.

В реальной жизни существует много товаров, выступающих объектами потребления, однако для наших целей удобно рассмотреть случай всего двух товаров, поскольку тогда можно описать поведение потребителя в отношении выбора товаров графически.
      Обозначим потребительский набор данного потребителя через (х₁, х₂). Это просто два числа, говорящие нам о том, сколько товара 1, х₁, и сколько товара 2, х₂, хочет потребить данный потребитель. Иногда удобно обозначать потребительский набор лишь одним символом, скажем, X, где X — просто сокращенное обозначение указанного перечня двух чисел (х₁, х₂).

Предположим, что из наблюдений нам известны цены этих двух товаров, (р₁, р₂), и та сумма денег, которую может израсходовать потребитель, К. Тогда бюджетное ограничение потребителя может быть записано в виде:

 р₁х₁ + р₂х₂ ≤ К.                                                         (3.1)

Здесь р₁х₁ — сумма денег, расходуемая потребителем на товар 1, а р₂х₂ — сумма денег, расходуемая им на товар 2. Бюджетное ограничение потребителя требует, чтобы сумма денег, затраченная на оба товара, не превышала общей суммы денег, которую может израсходовать данный потребитель. Доступными для потребителя наборами являются те, которые стоят не дороже К.

Предпосылка о наличии всего лишь двух товаров носит более общий характер, чем можно было бы поначалу подумать, поскольку часто можно считать один из товаров представляющим все другие товары, которые потребитель мог бы захотеть потребить.
Бюджетная линия есть множество наборов, которые стоят в точности К:

p₁x₁ + p₂x₂ = К                                                          (3.2)

Это товарные наборы, на которые полностью расходуется весь доход потребителя.
      Бюджетное множество изображено на рис.3.1. Жирной линией изображена бюджетная линия — наборы, стоящие в точности К, а под этой линией располагаются наборы, которые стоят строго меньше К.

Рис. 3.1 Бюджетное множество потребителя

      Можно преобразовать уравнение бюджетной линии в уравнение (3.3), что даст нам формулу:

                                                             (3.3)

Это формула для прямой, пересекающей вертикальную ось в точке К/p₂ и имеющей наклон –p₁/p₂. Данная формула показывает, сколько единиц товара 2 должен потребить потребитель, чтобы при потреблении x₁ единиц товара 1 бюджетное ограничение как раз удовлетворялось.
      Приведем легкий способ нарисовать бюджетную линию при заданных ценах (p₁, p₂) и доходе m. Достаточно спросить себя, сколько товара 2 мог бы купить потребитель, если бы он истратил на него все свои деньги. Ответ: конечно, К/p₂. Теперь спросите, сколько товара 1 мог бы купить потребитель, если бы он истратил на него все свои деньги. Ответ: К/p₁. Таким образом, точки пересечения с горизонтальной и вертикальной осями показывают количества товаров, которые мог бы получить потребитель, если бы он истратил все свои деньги соответственно на товары 1 и 2. Чтобы провести данную бюджетную линию, достаточно нанести эти две точки на соответствующие оси графика и соединить их прямой линией.

Как изменяется бюджетная линия? При изменении цен и дохода изменяется и множество товаров, доступное потребителю. Как влияют эти изменения на бюджетное множество?
      Вначале рассмотрим изменения дохода. Из уравнения (3.3) нетрудно увидеть, что возрастание дохода приведет к увеличению отрезка, отсекаемого бюджетной линией на вертикальной оси, не повлияв при этом на наклон этой линии. Таким образом, рост дохода будет иметь результатом параллельный сдвиг бюджетной линии вовне, как на рис.3.2. Аналогично, уменьшение дохода вызовет параллельный сдвиг бюджетной линии внутрь. Возрастание дохода вызывает параллельный сдвиг бюджетной линии наружу.   

Рис. 3.2 Зависимость бюджетной линии от роста дохода

 А что можно сказать об изменениях цен? Вначале рассмотрим возрастание цены товара 1, считая цену товара 2 и доход постоянными. Как видно из уравнения (3.3), возрастание p₁ не изменит точки пересечения бюджетной линии с вертикальной осью, но сделает бюджетную линию круче, поскольку p₁/p₂ увеличится.

Другой способ посмотреть, как изменится бюджетная линия, состоит в том, чтобы прибегнуть к приему, описанному нами выше при проведении бюджетной линии. Если вы тратите все деньги на товар 2, то возрастание цены товара 1 не изменяет максимального количества товара 2, которое вы можете купить, следовательно, точка пересечения бюджетной линии с вертикальной осью не меняется. Но если вы тратите все деньги на товар 1 и он становится дороже, то потребление вами товара 2 должно сократиться. Следовательно, точка пересечения бюджетной линии с горизонтальной осью должна сдвинуться внутрь, в результате чего наклон бюджетной линии будет больше (рис.3.3). Если товар 1 становится дороже, бюджетная линия становится круче.

Рис. 3.3 Зависимость бюджетной линии от роста цены на товар х₁

 Что происходит с бюджетной линией при одновременном изменении цен товара 1 и товара 2? Предположим, например, что мы удваиваем цены обоих товаров. В этом случае и точка пересечения бюджетной линии с горизонтальной осью, и точка ее пересечения с вертикальной осью сдвинутся внутрь, причем координаты новых точек будут равны координатам прежних точек, умноженным на 1/2, и поэтому бюджетная линия сдвигается внутрь также с коэффициентом 1/2. Умножение обеих цен на два – то же самое, что деление дохода на 2.

Это можно выразить и алгебраически. Предположим, что наша исходная бюджетная линия есть p₁x₁ + p₂x₂ = К.

Предположим, далее, что обе цены возрастают в t раз. Умножение обеих цен на t дает tp₁x₁ + tp₂x₂ = К.

 Но это уравнение – то же самое, что и p₁x₁ + p₂x₂ = К/t.

Таким образом, умножение обеих цен на постоянную величину t есть то же самое, что и деление дохода на эту постоянную величину t. Отсюда следует, что если умножить на t и цены обоих товаров, и доход, то бюджетная линия совсем не изменится.
         Можно также рассмотреть одновременные изменения цен и дохода. Что произойдет, если цены обоих товаров возрастут, а доход снизится? Подумайте, что произойдет с точками пересечения бюджетной линии с горизонтальной и вертикальной осями. Если К уменьшается, а p₁ и p₂ растут, то соответствующие координаты обеих точек пересечения с осями К/p₁ и К/p₂ должны уменьшиться. Это означает, что бюджетная линия сдвинется внутрь. А что произойдет с наклоном бюджетной линии? Если цена товара 2 возрастет в большей степени, чем цена товара 1, так что – p₁/p₂ уменьшится (по абсолютной величине), бюджетная линия станет более пологой; если же цена товара 2 возрастет в меньшей степени, чем цена товара 1, бюджетная линия станет более крутой.

  Бюджетная линия обладает следующими свойствами:

1)        имеет отрицательный наклон;

2)        её наклон равен обратному соотношению цен двух товаров
.

3)        при постоянных ценах разным уровням дохода соответствует более высокая бюджетная линия. Т.о. уровень бюджетной прямой отражает ограничение дохода, а её наклон – соотношение цен.

3.2.2. Оптимальное поведение потребителя в неоклассическом случае и 

при ограниченном запасе товаров

Неоклассическая задача потребления состоит в выборе та­кого набора х товаров из допустимого множества X (х Х), кото­рый был бы наиболее предпочтителен с точки зрения потребителя. Поскольку отношение предпочтения определяется функций по­лезности, то наиболее предпочтительным будет тот набор х° това­ров, полезность которого максимальна: U(x°) = max U(x), х Х. Таким образом, неоклассическая задача потребления состоит в максимизации функции полезности на допустимом множестве потребителя:

U(x) max,    р'х ≤ К, х ≥ 0.                                                        (3.4)

Вернемся к задаче производственно­го потребления. В качестве величины денежного дохода К можно рассматривать объём оборотных средств, имеющихся у предприятия, а в качестве допустимого множества потребителя будем рассматривать множество ,которое является компактным, если р > 0 и X ≠Ø (для т=2 один из возможных вариантов изображен на рис.3.4 (а). Случай пустого множества изображен на рис.3.4 (б).

Рис.3.4 Компактное множество потребителя (а), пустое множество потребителя (б)     

Будем рассматривать функцию полезности, определяемую прибылью: U(x) = maxP(z|x), z Z(x), а параллельно (в скобках) – более простую, определяемую доходом U(x) = max R(z\x), z Z(x).

 Тогда задача типа (3.4) примет вид:

                                                          (3.5)

Задача (3.5) — задача оптимального производственного по­требления. Как видим, она является задачей ЛП и может быть решена методами ЛП. Заметим, что для ее решения не обязатель­но знать явный вид функции полезности.

Опять рассмотрим задачу (3.4). Предположим, что U(x) – строго вогнутая дважды непрерывно дифференцируемая функция. При р>0 множество X является компактом и в силу свойств функции U(x) задача имеет единственное решение х°. Если отказаться от строгой вогнутости функции U(x), то решение х° может быть не единственным.

Задача (3.4) является задачей выпуклого программирования. Согласно теоремы Куна-Таккера план х° оптимален в том и только том случае, если существует число ° > 0 такое, что для функции Лагранжа  выполняются условия:

                                                (3.6)

                                       (3.7)

                                                     (3.8)

                                              (3.9)

                                                             (3.10)

Из соотношений (3.6-3.7) следует:  (товар не покупается), и, наоборот, если   (товар закуплен). По предположению р>0. Тогда последние соотношения дают:

 таких, что ,

т.е. на оптимальном плане отношение маргинальной полезности к цене товара является постоянной величиной  для всех заку­паемых товаров и равно оптимальному множителю Лагранжа, который называют ещё предельной полезностью денег. Она уменьшается с ростом дохода и возрастает с его уменьшением.

Отсюда следует важный вывод о том, что в оптимальном наборе отношение предельной полезности к цене одинаково для всех товаров:

Этому можно дать простое логическое объяснение. Если полезность от расходования дополнительной денежной единицы на продукт питания выше, чем от денежной единицы на одежду, то потребитель может увеличить полезность за счёт расходов на питание.

Это равенство можно переписать в другой форме:

На оптимальном наборе х° закупаемых товаров от­ношение (оптимальных) предельных полезностей товаров равно отношению цен этих товаров.

Поскольку хоть один товар закупается, то λ° > 0, а тогда из соотношений (3.8-3.9) следует:

р'х° = К,                                                                 (3.11)

т.е. при оптимальном плане весь бюджет израсходуется (опти­мальный план лежит на бюджетной линии).

К этому выводу можно придти и логически. Если потребитель не полностью использует средства, которые имеются в его распоряжении, истратив остаток на покупку какого-либо товара, получим набор товаров, который (в силу аксиомы ненасыщаемости) будет иметь большее значение функции полезности, чем первоначальный.

Все выводы, сделанные для задачи производственного по­требления, справедливы и для любых других задач с другими функциями полезности.

***

Рассмотрим случай, когда в задаче производственного потребления на х накладываются ограничения  т.е. рас­сматривается задача

b_*i  b_i ^*  , i I               

если выполняются ограничения

      d_*j  d_j ^* , j J              

Товар  i  будем   называть  дефицитным  {scarce  commodity), если  закупается весь его  запас,  имеющийся на рынке:  x_i° = b_i ^*  , недефицитным, если  b_*i  b_i ^*  , и малоиспользуемым (не­существенным), если закупается лишь его минимальное количе­ство, необходимое для функционирования производства: x_i° = b_*i  .

По отношению к недефицитным товарам потребитель ведет себя как в неоклассиче­ском случае.

Если i-й   товар   является   дефицитным, тогда (оптимальная) предельная полезность на денежную единицу для дефицитных товаров не меньше (оптимальной) предельной полезности на денежную единицу для недефицитных товаров. В этом случае бюджет может быть полностью не израсходован. Однако увеличить полез­ность за счет закупки недефицитных товаров на оставшуюся не­израсходованную часть бюджета  нельзя.  В  самом деле,  так как это означает, что для недефицитных товаров M°U_i(x°) = 0 и увеличение потребления i-ro товара при неизмен­ном потреблении остальных не ведет к увеличению полезности. Это следует и из закона Госсена: так как при увели­чении потребления i-ro товара MU_i может только уменьшаться, то либо MU_i = 0 для всех x_i > x_i°, либо MU_i(x) < 0 для x_i > x_i°. А как было сказано, если MU_i=0, то полезность не изменяется при увеличении по­требления i-ro товара, а если MU_i(x) < 0, то полезность уменьшается. Единственная возможность увеличить полезность товаров при полном расходовании бюджета – увеличение количества де­фицитного товара на рынке.

Аналогично получим и для малоиспользуемых товаров. Остальные выводы те же, что и для дефицитных товаров. Заметим только, что при неполном использовании бюд­жета увеличение полезности за счет оставшихся денег может быть достигнуто лишь при уменьшении количества малоиспользуемого товара на рынке.

3.2.3. Геометрическая интерпретация задачи потребления в случае двух товаров

Рассмотрим неоклассическую задачу потребления. Можно считать, что все товары закупаются, иначе, если товар не закупается, то его исключают из рассмотрения, уменьшая размер­ность пространства товаров. Тогда решение задачи потребления при п = 2 можно геометрически проиллюстрировать. Из приведен­ных ранее выводов следует, что оптимальный план лежит в точке касания кривой безразличия {х:U(x)=U(x⁰)} с бюджетной линией (рис. 3.5.)

х₂

                                        

                                  р

К/р₂

                    х⁰

                             

               Х                                 р^/х=К

  

  0                            К/р₁             х₁

Рис. 3.5 Оптимальный план потребления в случае двух товаров

Рассмотрим   задачу   (3.5)   в   простейшем   варианте,    когда  т = 2, d_*j = 0, d_j^* =+∞, j = , b_*i =0, b_i^* = +∞, i = 1,2. Тогда по­лучим задачу:

Поскольку для оптимального плана бюджет используется полностью то это означает,    что решение задачи лежит в точке касания бюджетной линии и кри­вой безразличия, т.е. в точке х° вектор (оптимальной) маргиналь­ной полезности М°U(х°) функции полезности пропорционален нормали р к бюджетной линии.

В точке касания угол наклона касательных к бюджетной линии и кривой безразличия одинаковый. Значит:

          

(угол наклона бюджетной линии)  (угол наклона кривой безразличия)

Т.к. в точке касания они равны, можно записать:

Данное выражение преобразуем и разделим на р₁:

Получены выводы аналогичные тем, которые были сделаны ранее, только без множителей Лагранжа.

Оптимальный план может быть не единственным. Это следует из того, что постро­енная функция полезности U(x) не является строго во­гнутой. Случай неединствен­ности изображен на рис. 3.6: все точки отрезка АВ являют­ся оптимальными планами.

   х₂

                                           

                          р                   линия безразличия

 К/р₂

             А            х⁰

                  В                     

                      Х                    бюджетная линия

                        

      0                            К/р₁             х₁

Рис. 3.6 Множество оптимальных планов потребления в случае двух товаров

 

На главную