Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Математическая экономика» для специальности 1-74 01 01 Экономика и организация производства в отраслях

2.1 ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

 

2.1.1 Пространство товаров. Определение производственной функции и её свойства.

 

Производство есть процесс преобразования одних благ в другие: факторов производства в готовую продукцию. Зависимость между количеством используемых факторов производства и максимально возможным при этом выпуском продукции называют производственной функцией. Важнейшим этапом в развитии современной теории производства стало развитие анализа технологических возможностей, которыми располагали производители в определённый момент времени.

Обсуждение концепции производственной функции занимает значительное место в теории производства в начале XX века. Среди экономистов, способствовавших развитию понятия производственной функции в экономическую науку того времени выделяют имена Ф. Уикстида, В.Парето, А. Берии, Дж. Хикса, Р. Фриша, П. Самуэльсона и др.

Производство можно представить как систему «затраты-выпуск», в которой выпуском является то, что фактически произведено, а затратами – то, что потребляется с целью выпуска (капитал, труд, энергия, сырьё). Поэтому формально можно сказать, что производство – это функция, которая каждому набору затрат и конкретной технологии ставит в соответствие определённый выпуск. Именно такое упрощённое понимание производства, как «чёрного ящика» заложено в математической модели производства (Рис. 5.1). Вводится в рассмотрение два вида векторов: х=(х₁, х₂,……….,х_m) – вектор затрат и y=(y₁, y₂,……….., y_n) – вектор выпуска.

 

 

                   х₁                                                                                                                            y₁

                   х₂                                                                                                          y₂

 

                                                   ПРОИЗВОДСТВО

                    х_m                                                                                                                       y_n

 

Рис. 2.1 – Математическая модель производства

 

Положительный орант  называется пространством затрат. Аналогично определяется пространство выпуска .

Для отражения реальных возможностей фирмы в математических моделях часто применяют более узкие множества  и . Если фирма выпускает только один вид продукции, то вместо вектора выпуска используют скляр.

Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология – новая производительная функция.

С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

Но предприятие может по-разному осуществить производственный процесс, используя разные технологические способы, разные варианты организации производства, так что и количество продукта, получаемое при одних и тех же затратах ресурсов, может быть разным. Руководители фирмы должны отклонить варианты производства, дающие меньший выход продукта, если при тех же самых затратах каждого вида ресурса можно получить больший выход. Точно так же они должны отклонить варианты, требующие больших затрат хотя бы одного ресурса без увеличения выхода продукта и сокращения затрат других ресурсов. Варианты, отклоняемые по этим соображениям, носят название технически неэффективных.

Технически эффективными называют варианты производства, которые нельзя улучшить ни увеличением производства продукта без увеличения расхода ресурсов, ни сокращением затрат какого-либо ресурса без снижения выпуска и без увеличения затрат других ресурсов. Производственная функция учитывает только технически эффективные варианты. Ее значение - это наибольшее количество продукта, которое может произвести предприятие при данных объемах потребления ресурсов.

Рассмотрим вначале простейший случай: предприятие производит единственный вид продукции и расходует единственный вид ресурса. Пример такого производства довольно трудно найти в действительности. Итак, предприятие, затрачивая ресурс в количестве х, может произвести продукт в количестве q. Производственная функция q = f(x) устанавливает связь между этими величинами. Заметим, что здесь, все величины  объемные – это величины типа потока: объем затрат ресурса измеряется количеством единиц ресурса в единицу времени, а объем выпуска - количеством единиц продукта в единицу времени.

На Рис.5.2 приведен график производственной функции для рассматриваемого случая. Все точки, лежащие на графике, соответствуют технически эффективным вариантам, в частности точки А и В. Точка С соответствует неэффективному, а точка D - недостижимому варианту.

 

Рис. 2.2 – Производственная функция в случае единственного ресурса

 

Производственная функция q = f(x), устанавливающая зависимость объема производства от объема затрат единственного ресурса, может использоваться не только в иллюстративных целях. Она полезна и тогда, когда может изменяться расход лишь одного ресурса, а затраты всех остальных ресурсов по тем или иным причинам должны рассматриваться как фиксированные. В этих случаях интерес представляет зависимость объема производства от затрат единственного переменного фактора.

Рассмотрим основные свойства  производственных функций:

Первое свойство: Отсутствие «рога изобилия»: из ничего нельзя что-то произвести . Часто применяют даже более жёсткое условие: что при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска: f(0)=0.

Второе свойство: Производственная функция является неубывающей, т.е. существует подмножество пространства затрат, называемое экономической областью, в которой для любых  из этой области  из неравенства .

В общем, из этого правила, при всей его кажущейся очевидности, возможны исключения. Например, очень большое внесение удобрений может привести к гибели урожая. Но подобные действия являются экономически нецелесообразными и исключаются из экономической области.

Следует отметить, что отношение  показывает прирост выпуска продукции на единицу затрат i-го фактора и называется производительностью i-го фактора. Если существует производная ,  то эту вели­чину называют предельной производительностью (marginal productivity) i-го фактора или предельным (маргинальным) продуктом (marginal product) no i-му фактору и обозначают Mf_i(x).

Если производственная функция имеет все частные производные, то это означает, что 

.

Экономическую область можно теперь определить, как такое множество в пространстве затрат , где выполняются условия:

.

Границей экономической области будут поверхности, на которых:

 

.

Эти поверхности часто называют разделяющими.

Третье свойство: Убывающая доходность (убывающая отдача).

Это означает, что увеличение затрат только одного фактора при постоянных затратах остальных факторов приводит к сниже­нию эффективности его использования, т.е. к меньшим прирос­там произведенной продукции. Этот факт получил название за­кона убывающей доходности (убывающей отдачи). Одним из примеров указанного закона является труд многостаночников. Увеличение станков на одного человека при неизменных техниче­ских характеристиках станков и неизменной квалификации об­служивающего персонала может только уменьшить эффектив­ность их использования.

Математически это означает, что вторые частные производные по каждому из ресурсов являются отрицательными:

.

Четвёртое свойство: Изменение масштабов производства. Если происходит пропорциональное изменение затрат, т.е. при переходе от        , говорят об изменении масштабов производства в  раз.

Если производственная функция является однородной -й степени, то выполняется условие . При этом возможны три ситуации:

 – имеет место возрастающая эффективность от укрупнения масштабов производства. Например, пропорциональное увеличение всех ресурсов в 2 раза ведёт к увеличению выпуска продукции более чем в 2 раза. ( ).

 – постоянная эффективность от укрупнения масштабов производства ( ) .

 – убывающая эффективность от укрупнения масштабов производства ( ).

 

2.1.2. Производственная функция ЗАСПД

 

Построим производственную функцию для одной производ­ственной задачи. Рассмотрим некоторое предприятие, изготов­ляющее однородную продукцию. Пусть предприятие может ис­пользовать для этого п технологических способов (процессов, activities). Для изготовления продукции требуются некоторые ви­ды затрат. Как говорилось выше, в теории производства их назы­вают производственными факторами. Среди них могут рассматри­ваться как сырьевые ресурсы, так и капитал (capital), труд (labour), земля (earth). Последние производственные факторы на­зывают первичными (primary resources). Если рассматривается агрегированная модель (aggregation model) производства, то, как правило, в качестве производственных факторов рассматривают только труд и капитал, переводя все сырьевые ресурсы в эквива­лентную сумму капитала.

Пусть количество производственных факторов равно т. Обозначим через x_i количество (в соответствующих единицах из­мерения) i-ro фактора, имеющегося у предприятия, a_ij – количество i-го фактора, затрачиваемого в j-m технологическом процессе при единичной интенсивности (unit intensity) его функционирования. Если интенсивность j-то технологического процесса равна z_j то   — количество i-го производственного фактора, идущего на производство всей продукции, при этом выполняются неравенства:

 

,                                                                                (2.1)

где

 

Матрицу      назовем матрицей затрат (input matrix). Понятно, что интенсивности не являются неограничен­ными величинами, поэтому естественно наложить на них ограни­чения:

 

  .                                                                           (2.2)

 

Обозначим через z(x) = (z₁(x), ..., z_n(x)) вектор интенсивностей (intensity vector) всего производства и назовем его допус­тимым планом (feasible plan), если он удовлетворяет ограниче­ниям (5.1), (5.2) при заданном векторе х = (х_1; ..., х_т). Множество всех допустимых планов обозначим через Z(x). Далее, обозначим через q_j производительность (productivity) j/-го технологического процесса, т.е. количество выпускаемой продукции (в соответст­вующих единицах измерения) j-м технологическим процессом при единичной интенсивности его функционирования. Таким образом, при плане z(x) общий объем выпускаемой предприятием продук­ции равен:

 

 .                                                                        (2.3)

Наконец, отметим еще один момент. Так как любой из фак­торов не является неограниченной величиной, то естественно на­ложить ограничения:

 

 .                                                                  (2.4)

 

Рассмотрим функцию:

f(x) = max Q(z|x),      ,                                                  (2.5)

где   , . Она  выражает  зависимость между выпуском продукции и затратами. Такие функции в экономической литературе называют производ­ственными. По аналогии функцию (5.5) назовем производствен­ной функцией задачи анализа способов производственной деятельности (ПФ ЗАСПД). Подобная функция известна в литературе по ма­тематической экономике, но исследована недостаточно подробно и, кроме того, приводится она при условии z ≥ 0, х ≥ 0, что, как будет видно, не всегда оправдано.

При каждом х значение функции (5.5) можно найти алго­ритмически. В самом деле, в подробной записи согласно (5.1)-(5.3) значение f(x) при заданном х равно f(x) = Q(z°(x)|x), где z°(x) — решение задачи ЛП:

 

q'z → max,    Az ≤ х,    d_* ≤ z ≤ d^*,                                                (2.6)

где q = (q₁,   ...,   q_n )—   вектор   производительностей,    d_* = (d_*j ,  j  J), d^* = (d_j^* ,  j  J).

Исходя из двойственного представления функции f(x), можно показать, что эта функция обладает всеми теми же свойствами, что и функция полезности U(x), построенная, исходя из дохода, т.е. она является непрерывной, вогнутой, при этом:

f(x) = х'у°(х) + d*'w°(x)– d' _*v°(x),     b_* < х < b*,                         (2.7)

где (у°(х), w°(x), v°(x)) — оптимальный двойственный план задачи (5.6) при заданном векторе х.

В связи с этим мы не будем проводить здесь аналогичную геометрическую интерпретацию. В частно­сти, при изменении только одного фактора вид ПФ аналогичен функции полезности U(x).

Для агрегированной модели, где в качестве факторов рас­сматриваются только труд и капитал, ПФ ЗАСПД можно предста­вить следующим образом. Предприятие обладает некоторым ка­питалом К (под ним можно понимать совокупность основных (fixed) и оборотных фондов (circulating assets) , а также креди­ты (credit)). Величину К можно исчислять как в натуральных, так и денежных единицах. Последний вариант, конечно, пред­почтительнее. Этот капитал распределяется между технологиче­скими процессами. Пусть z_j — сумма капитала, выделяемая на j-й технологический процесс, q_j — производительность j-го техноло­гического процесса, т.е. количество продукции, выпускаемой j-м процессом на единицу вложенного в этот процесс капитала. Та­ким образом, под интенсивностью технологического процесса по­нимается количество капитала, вложенного в этот процесс. Кроме капиталовложений, для функционирования производства необхо­димы трудовые ресурсы. Пусть l_j — количество труда (в соответ­ствующих единицах измерения), необходимое на единицу капита­ла в j-ом процессе. Обозначим через L имеющиеся в распоряжении предприятия трудовые ресурсы. Тогда производст­венную функцию для такой модели можно представить следую­щим образом:

 

f(K,L)= max  q'z(K,L),

z₁ +...+z_n <K,

                                                                                                   (2.7)

.

 

Таким образом, сравнивая задачи (5.6) и (5.7), имеем:

                                                                                      (5.8)

Рассмотрим функцию (5.5). Исходя из двойственного пред­ставления (5.7) этой функции, а также из свойств решений задачи ЛП (5.6), заключаем:

1) f(0) = 0. Более того, если хотя бы для одного вида факторов  затраты  нулевые,   но  этот   вид  затрат  используется   во  всех технологических процессах (т.е. а_ij > 0, ), то f = 0. В самом деле, учитывая, что а_ij > 0, множество планов задачи (5.6) либо пусто, если d_*j > 0 хотя бы для одного j, либо Z = {0}, если d_* = 0.

2) Для   любых   х,    из   неравенства  ,   x≥  следует f(x) ≥ f( ). Это свойство непосредственно вытекает из двойствен­ного представления (5.7) функции f(x), которое можно переписать в виде: f(x) = min (у'х + d^*/ w – ^/v), (у, w, v) , где  — множе­ство двойственных планов. Так как f(x) имеет производную по любому направлению, то это свойство означает, что производная по любому неотрицательному направлению неотрицательна. Пусть е_i — единичный вектор направления по оси 0x_i. Тогда согласно свойствам функции минимума имеем:

где  — проекция множества оптимальных планов  на ось 0y_i. Так как у ≥ 0, то

3) Функция f(x) вогнута по каждому аргументу. Это свойство следует из двойственного представления.

Для ЗАСПД,  исходя из физического смысла двойственных переменных,   в  точках  х,  для  которых  z°(x) —  невырожденный оптимальный план, имеем: Мf_i(х)= , причем план единственный. Если z°(x) — вырожденный план, то оптимальный двойственный план может быть не единственным. Поэтому для ЗАСПД вводится понятие обобщенного маргинального продук­та М^* f_i(х), который представляет собой множество — проекцию на ось 0x_i субдифференциала  функции f(x) или аналогично, как для    функции    полезности, М^* f_i(х)= . Ясно, что каждый элемент множества М^* f_i(х) неотрицателен, а в точках х невырожденности плана z°(x) имеем: М^* f_i(х)= Мf_i(х). Поэтому в дальнейшем, если не будет особой не­обходимости, будем использовать только понятие маргинального продукта.

 

2.1.3. Основные характеристики производственных функций.

Геометрическая интерпретация показателей ПФ

 

Теперь рассмотрим основные характеристики производственных функций. Эффективность системы характеризуется соотношением затрат и ресурсов

Для качественной оценки используется три типа показателей:

- средние

- предельные

- эластичность.

1) Средняя производительность i-го ресурса:

 

   .                                                                      (5.9)

Показывает объём продукции, приходящийся на каждую единицу затрат соответствующего ресурса.

2) Предельная производительность (предельный продукт) i-го ресурса:

  .                                                (5.10)

Показывает, какой дополнительный выпуск продукции приходится на каждую дополнительную единицу затрат соответствующего ресурса при условии, что затраты других ресурсов не изменяются, т.е. выражает вклад ресурса в прирост продукции

3) Эластичность выпуска по i-му ресурсу (отношение предельной производительности i-го ресурса к его средней производительности):

   .                                                 (5.11)

Показывает (приближённо), на сколько процентов увеличится выпуск, если затраты i-го ресурса увеличатся на 1% при неизменных объёмах других ресурсов.

4) Эластичность производства:

  .                                                     (5.12)

Показывает (приближённо), на сколько процентов изменится выпуск при изменении масштаба производства на 1%.

Если , то имеет место возрастающая эффективность от укрупнения масштабов производства в точке х.

Если  – убывающая,

Если  – постоянная.

Значит эластичность производства связана со степенью однородности ПФ.

Для ПФ ЗАПСД име­ем , т.е. при расширении масштаба производства построенная ПФ характеризуется постоянным доходом.

5) Предельная норма технической замены (замещения) фактора j-го фактором i-м:

    .                                                (5.13)

Одного и того же выпуска можно достичь используя различные сочетания ресурсов. Этот показатель равен обратному соотношению их предельных производительностей и показывает (приближённо), на сколько единиц необходимо увеличить затраты фактора i при неизменном выпуске, если затраты фактора j уменьшаться на 1 единицу. Минус показывает, что если увеличить затраты одного ресурса, необходимо уменьшить затраты другого ресурса.

6) Эластичность замещения ресурсов в точке  х:

  .                                                    (5.14)

Показывает, на сколько процентов должно измениться соотношение затрат i-го вида, чтобы при этом предельная норма замещения изменилась на 1% при неизменном выпуске.

 характеризует взаимозаменяемость факторов.

Если  – факторы считаются полностью взаимозаменяемы.

Если  – факторы считаются полностью не заменяемы.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию ПФ, зависящей от объемов двух потребляемых ресурсов: q = f(x₁, x₂).

Анализ таких функций позволяет легко перейти к общему случаю, когда количество ресурсов может быть любым. Кроме того, производственные функции двух аргументов широко используются в практике, когда исследователя интересует зависимость объема выпуска продукта от важнейших факторов - затрат труда (L) и капитала (K): q = f(L, K).

График функции двух переменных невозможно изобразить на плоскости. Производственную функцию вида q = f(x₁, x₂) можно представить в трехмерном декартовом пространстве, две координаты которого (x₁ и x₂) откладываются на горизонтальных осях и соответствуют затратам ресурсов, а третья (q) откладывается на вертикальной оси и соответствует выпуску продукта (Рис. 5.3а). Графиком производственной функции служит поверхность "холма", повышающаяся с ростом каждой из координат x₁ и x₂. Построение на рис. 5.3б при этом можно рассматривать как вертикальный разрез "холма" плоскостью, параллельной оси x₁ и соответствующей фиксированному значению второй координаты x₂ = x^*₂.

Рис. 5.3 –  Производственная функция в случае двух ресурсов

 

Горизонтальный разрез "холма" объединяет варианты производства, характеризующиеся фиксированным выпуском продукта q = q* при различных сочетаниях затрат первого и второго ресурсов. Если горизонтальное сечение поверхности "холма" изобразить отдельно на плоскости с координатами x₁ и x₂, получится кривая, объединяющая такие комбинации затрат ресурсов, которые позволяют получить данный фиксированный объем выпуска продукта (Рис. 5.4). Такая кривая получила название изокванты производственной функции.

Рис. 5.4 – Изокванта производственной функции

 

Допустим, что производственная функция описывает выпуск продукции в зависимости от затрат труда и капитала. Одно и то же количество продукции можно получить при различных сочетаниях затрат этих ресурсов. Можно использовать небольшое количество машин (т. е. обойтись небольшими затратами капитала), но при этом придется затратить большое количество труда; можно, напротив, механизировать те или иные операции, увеличить количество машин и за счет этого снизить затраты труда. Если при всех таких сочетаниях наибольший возможный объем выпуска остается постоянным, то эти сочетания изображаются точками, лежащими на одной и той же изокванте.

Зафиксировав объем выпуска продукта на другом уровне, мы получим другую изокванту той же самой производственной функции. Выполнив серию горизонтальных разрезов на различных высотах, получим так называемую карту изоквант (Рис.5.5) - наиболее распространенное графическое представление производственной функции от двух аргументов. Она похожа на географическую карту, на которой рельеф местности изображен горизонталями (иначе - изогипсами) - линиями, соединяющими точки, лежащие на одинаковой высоте.

Рис. 5.5 –  Карта изоквант

 

Основные свойства изоквант:

1) изокванты никогда не пересекаются друг с другом;

2) большему выпуску соответствует более удалённая от начала координат изокванта;

3) если необходимы абсолютно все ресурсы, то изокванты не имеют общих точек с осями координат;

4) изокванты имеют отрицательный наклон, т.к. при увеличении затрат одного ресурса, объём производства можно сохранять на том же уровне при меньших затратах другого ресурса.

Нетрудно заметить, что производственная функция во многом похожа на функцию полезности в теории потребления, изокванта – на кривую безразличия, карта изоквант – на карту безразличия. И дело тут не в простом сходстве. По отношению к ресурсам фирма ведет себя как потребитель, и производственная функция характеризует именно эту сторону производства - производство как потребление. Тот или иной набор ресурсов полезен для производства постольку, поскольку он позволяет получить соответствующий объем выпуска продукта. Можно сказать, что значения производственной функции выражают полезность для производства соответствующего набора ресурсов. В отличие от потребительской полезности эта "полезность" имеет вполне определенную количественную меру – она определяется объемом производимой продукции.

То обстоятельство, что значения производственной функции относятся к технически эффективным вариантам и характеризуют наибольший выпуск продукции при потреблении данного набора ресурсов, также имеет аналогию в теории потребления. Потребитель может по-разному использовать приобретаемые блага. Полезность покупаемого набора благ определяется таким способом их использования, при котором потребитель получает наибольшее удовлетворение.

Однако при всех отмеченных чертах сходства потребительской полезности и "полезности", выражаемой значениями производственной функции, это совершенно разные понятия. Потребитель сам, исходя только из своих собственных предпочтений, определяет, насколько полезен для него тот или иной продукт, покупая или отвергая его. Набор производственных ресурсов, в конечном счете, окажется полезным в той мере, в какой будет одобрен потребителем тот продукт, который произведен с использованием этих ресурсов.

 

 

2.1.4. Типичные производственные функции (линейная производственная функция,  производственная функция Кобба-Дугласа, производственная функция Леонтьева, CES-функция)

 

Линейная производственная функция – показывает линейную зависимость выпуска от затрат:  ,

где  – маргинальный продукт i-го фактора. Выражает ли­нейную  зависимость  объема  выпуска  продукции  от   затрат.  

1) Предельная производительность (предельный продукт) i-го ресурса:

.

2) Эластичность выпуска по i-му ресурсу:

.

3) Эластичность производства:

.

Значит, что имеет место постоянная отдача от масштабов производства.

4) Предельная норма технической замены (замещения) фактора j-го фактором i-м:

,

которая является постоянной величиной, не зависящей от занятых в производстве факторов. Следовательно .

5) Эластичность замещения ресурсов в точке  х:

.

Изоквантами для двухфакторной модели являются парал­лельные прямые (рис.5.6). Основной недостаток линейной ПФ в том, что, как показывает рис. 5.6, любой выпуск продукции обес­печивается даже при нулевых затратах одного из факторов (нали­чие "рога изобилия"), что нереально.

                                                                                                               

Рис. 5. 6 Карта изоквант линейной производственной функции

 

Производственная функция Леонтьева («затраты-выпуск» или ПФ с постоянными пропорциями)

,

где    – количество затрат вида i необходимое для производства единицы продукции количества А.

Она применяется, когда ресурсы не могут замещаться и должны находиться в постоянной зависимости. увеличение затрат одного ресурса к увеличению выпуска не ведёт. Функция является не дифференцируемой, поэтому рассмотрим только отдельные её характеристики.

Математически доказано:

1) Эластичность производства:  – постоянная отдача от производства.

2) Эластичность замещения ресурсов в точке  х: – факторы не замещаемы

Рассмотрим изокванты.  Для выпуска продукции объема Q необходимо взять такие количества   ,  чтобы выполнялось равенство . А тогда, очевидно, изоквантои будет кривая, представляющая собой два луча АВ и АС , выходящие из точки (Рис. 5.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.7 - Карта изоквант для производственной функции Леонтьева

 

Все наиболее ра­циональные точки  для различных выпусков Q, будут лежать на луче  , проходящем через точку (с₁, с₂). Как видим, на луче АВ х₁ = const, а на луче АС х₂ = const, т.е. факторы не замещаемы. А тогда  = 0.

Мультипликативная производственная функция.

Наиболее широко распространены мультипликативно-степенные формы представления ПФ. Их особенность состоит в следующем: если один из сомножителей равен нулю, то результат обращается в нуль. Легко заметить, что это реалистично отражает тот факт, что в большинстве случаев в производстве участвуют все анализируемые первичные ресурсы и без любого из них выпуск продукции оказывается невозможным. В самой общей форме (она называется канонической) эта функция записывается так:

или

Здесь коэффициент А, стоящий перед знаком умножения, учитывает размерность, он зависит от избранной единицы измерений затрат и выпуска. Сомножители от первого до n-го могут иметь различное содержание в зависимости от того, какие факторы оказывают влияние на общий результат (выпуск). Напр., в ПФ, которая применяется для изучения экономики в целом, можно в качестве результативного показателя принять объем конечного продукта, а сомножителей — численность занятого населения x₁, сумму основных и оборотных фондов x₂, площадь используемой земли x₃. Только два сомножителя у функции Кобба—Дугласа, с помощью которой была сделана попытка оценить связь таких факторов, как труд и капитал, с ростом национального дохода США в 20—30-е гг. ХХ в.:

N = A · L^α · K^β,

где N — национальный доход; L и K — соответственно объемы приложенного труда и капитала .

Степенные коэффициенты мультипликативно-степенной ПФ показывают ту долю в процентном приросте конечного продукта, которую вносит каждый из сомножителей (или на сколько процентов возрастет продукт, если затраты соответствующего ресурса увеличить на один процент); они являются коэффициентами эластичности производства относительно затрат соответствующего ресурса. Если сумма коэффициентов составляет 1, это означает однородность функции: она возрастает пропорционально росту количества ресурсов. Но возможны и такие случаи, когда сумма параметров больше или меньше единицы; это показывает, что увеличение затрат приводит к непропорционально большему или непропорционально меньшему росту выпуска.

В динамическом варианте применяются разные формы ПФ. Напр., (в 2-факторном случае): Y(t) = A(t) L^α(t) K^β(t), где множитель A(t) обычно возрастает во времени, отражая общий рост эффективности производственных факторов в динамике. Логарифмируя, а затем дифференцируя по t указанную функцию, можно получить соотношения между темпами прироста конечного продукта (национального дохода) и прироста производственных факторов (темпы прироста переменных принято здесь описывать в процентах).

Производственная функция Кобба-Дугласа

,

где Y – объём выпуска, К – величина производственных фондов (капитал), L – затраты труда, – числовые параметры.

Рассмотрим её основные характеристики:

1) Предельная производительность (предельный продукт) i-го ресурса:

2) Эластичность выпуска по i-му ресурсу:  (зависит от показателя степени).

3) Эластичность производства:

4) Предельная норма технической замены (замещения) фактора j-го фактором i-м:

5) Эластичность замещения ресурсов в точке  х:

Изоквантами являются гиперболы, асимптоты которых представляют оси координат (рис.5.8 (а)).

 

              а)                                                      б)

 

Рис.8 Карта изоквант (а) и зависимость производительности труда от фондовооруженности

(б) для производственной функции Кобба-Дугласа

 

Изокванты показывают, что любой выпуск продукции мо­жет быть обеспечен при любых достаточно малых затратах одного фактора, лишь бы хватало других факторов. В частности, при любом достаточно малом вложении капитала можно достичь лю­бого уровня выпуска при достаточно большом наличии трудовых ресурсов. В этом один из недостатков ПФ Кобба-Дугласа.

Как легко видеть, производительность неограниченно растет с ростом фондово­оруженности (рис.8(б)),  но реально производительность всегда ограничена. В этом второй недостаток ПФ Коббба-Дугласа. Третьим недостатком с экономической точки зрения является равенство = 1.

Производственная функция с постоянной эластичностью замещения (CES – функция)

,

где А >0 – коэффициент шкалы, а_i  ≥0 – коэффициент распределения , h>0 – степень однородности, – коэффициент замещения.

Далее, опуская математические преобразования и расчёты приведены характеристики данной ПФ:

1) Эластичность производства: .

2) Предельная норма технической замены (замещения) фактора j-го фактором i-м:

.

3) Эластичность замещения ресурсов в точке  х: , т.е. для всех ресурсов принимает одну и ту же величину.

Отсюда можно заметить, что:

- при     и CES-функция становится линейной,

  - при     и CES-функция становится функцией Кобба-Дугласа,

  - при     и CES-функция становится функцией Леонтьева.

Т.о. CES-функция является обобщение первых трёх типов ПФ.

Изоквантой является кривая, изображенная на рис. 5.9. Другие изокванты, соответствующие выпускам Q₁, Q₂, ……, получаются параллельным сдвигом, в том числе и асимптоты. Ес­ли , то х₁→0 при х₂→∞ и  х₂→0 при  х₁→∞, т.е. асимптотами являются оси координат.

 

                           а)                                               б)

 

Рис. 9 Карта изоквант (а) и зависимость производительности труда от фондовооруженности

(б) для CES – функции

 

Пусть   в   двухфакторной   модели   х₁ = К,   х₂ = L, а₁ = a_К. Тогда получим зависимость производительности труда от фондовооруженности:

График  изображен  на  рис. 5.9 (б).

Как видим, при использовании CES-функции удается избе­жать тех недостатков, которые были присущи линейной ПФ и ПФ Кобба-Дугласа, в частности, нет неправдоподобного замеще­ния одного фактора другим, а производительность труда не растет неограниченно.

Для описания процесса производства могут использоваться любые ПФ. Те недостатки, которые указаны выше, несуществен­ны, так как, как правило, исследования поведения одних величин от других рассматриваются в некоторой малой окрестности задан­ных конечных значений параметров. Кроме того, достаточно ма­лые значения затрат какого-либо фактора во внимание не прини­маются. Единственным препятствием для использования наиболее «хорошей» с аналитической точки зрения и с точки зрения ре­альности CES-функции является ее достаточная сложность при исследовании и оценке параметров.

Следует также отметить, что указанные в настоящем разде­ле ПФ не используют модель производства, за исключением, воз­можно, ПФ Леонтьева. В то же время ПФ ЗАСПД, рассмотренная выше, хотя и не имеет явной (аналитической) формы, однако значения выпуска могут быть подсчитаны алгоритмически для любого набора факторов. Заодно при решении получаем величи­ны, которые позволяют провести анализ задачи. В этом некоторое преимущество указанной ПФ. Кроме того, она не обладает теми недостатками, о которых говорилось выше.

 

2.2 КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ФИРМЫ

 

2.2.1. Сущность классической задачи фирмы.

 

 Перейдя непосредственно к сущности классической задачи фирмы вспомним, что же такое фирма.:

Фирма - это организация, комбинирующая ресурсы для производства и реализации товаров и услуг. Выделяют:

• индивидуальные фирмы (принадлежат одному лицу);

• партнерства (принадлежат двум и более лицам);

• корпорации (принадлежат акционерам).

Рост фирмы позволяет ее владельцам использовать положительный эффект масштаба (снижение издержек производства на единицу продукции).

В то же время крупной фирме сложнее перестроить работу при стремительных изменениях рыночной конъюнктуры.

Иногда фирму определяют, как формальную организацию, ведущую дела на предприятии.

Предприятие - это относительно самостоятельный хозяйственный субъект, созданный для производства продукции, выполнения работ и услуг.

Как мы видим, понятия «фирма» и «предприятие» не тождественны. Фирма может владеть несколькими предприятиями, а предприятие может принадлежать нескольким фирмам (совместное предприятие). Однако следует отметить, что цель деятельности как фирмы, так и предприятия совпадают, так же как и вектор их деятельности.

Следовательно  отметим:

 с юридической (организационно-правовой) точки зрения предприятие – это самостоятельный субъект хозяйственной деятельности с правами юридического лица, которое на основании имеющихся ресурсов осуществляет производство и реализацию продукции, оказывает услуги и выполняет работы;

 с организационно-экономической – предприятие – это организационно-экономическая единица, представляющая объединение работников в единую кооперацию труда для масштабной производственно-хозяйственной деятельности;

 с социально-экономической – предприятие – это трудовой коллектив, объединенный общностью целей и задач, единством экономических интересов;

 с технико-экономической – предприятие – это комплекс средств производства, обладающих технологическим единством и взаимосвязью отдельных стадий производственного процесса, в ходе которого идет производство благ и оказание услуг.

Принципы деятельности фирм :  3 слайд

- экономическая свобода, самостоятельность в решении экономических задач;

- ориентация деятельности на коммерческий успех;

- материальная заинтересованность в результатах;

- хозяйственный риск и материальная ответственность;

- поиск новых, нестандартных решений.

Высшая цель фирмы – получение дохода и прибыли.

Другие цели:

- экономия ресурсов,

- качество продукции,

- рост ПТ,

- снижение затрат на ед. продукции и др.

Функция фирм:

- создание ценностей;

- обеспечение конкурентных преимуществ на рынке;

- выбор правильной рыночной стратегии.

Следовательно, мы непосредственно перешли к сущности классической задачи фирмы

Задача фирмы, как организации производящей затраты производственных ресурсов для изготовления продукции, сводится к определению количества выпускаемой продукции и необходимых для этого затрат.

Фирма должна решить свою задачу оптимальным образом. При этом оптимальность можно понимать неоднозначно. Это может быть, например, достижение необходимого уровня выпуска с наименьшими затратами, или получение максимального дохода без превышения заданного уровня издержек.

Фирма должна решить свою задачу наилучшим (т.е. оптимальным) образом. При этом оптимальность можно понимать двояко: либо как получение наибольшей прибыли (с учетом имеющихся возможностей фирмы относительно затрат ресурсов), либо как достижение необходимого (фиксированного) уровня выпуска с наименьшими затратами. Фирма может поставить перед собой только одну из этих целей. В противном случае задача будет некорректной, т.е. нереализуемой. Действительно, нельзя осуществить наибольший выпуск при наименьших затратах. В теории многокритериальной оптимизации этот факт устанавливается строго.

В текущий период, в рамках данной темы, мы ограничимся задачей получениям наибольшей прибыли.

 

 2.2.2. Долгосрочный и краткосрочный варианты постановки оптимизационной задачи

 

Итак, будем считать, что цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем выбора вектора затрат при заданных ценах на затраты. с последующим производством, отражаемого производственной функцией и реализации продукции по заданной цене.

При постановке экономико-математической задачи обычно учитывают следующие особенности развития фирмы (предприятия):

1) производственная среда;

2) регламентирующая среда;

3) потребительская среда.

Моделирование производственной среды направлено на учет условий, связанных с заготовкой и покупкой основных видов сырья; с распределением сырья для получения конкретных видов конечных продуктов, соблюдая применяемые технологии, стандарты качества продукции, дифференциацию ассортимента с освоением выпуска новых видов изделий. В производственной системе особое внимание придается технической и технологической подготовке проводимых процессов, для чего в задаче количество выпускаемой готовой продукции и полуфабрикатов увязывается с возможностями предельной загрузки оборудования.

Моделирование регламентирующей среды направлено на учет директивных показателей, определяемых на вышестоящем уровне (исполнительными органами, управлениями, концернами, министерствами и т.д.). К ним относятся объемы государственного заказа, количество выделяемых ресурсов (сырье, материалы, оборудование) из бюджета в счет выполнения комплексных целевых программ и др. Для отдельных отраслей перерабатывающей сферы учитывается регламентирование по рентабельности производства продукции с установлением предельных оптово-отпускных цен на продукты. Перспективное моделирование должно предусматривать свободу ценообразования в рыночной экономике, т.е. возможное колебание цен на сырье и продукты.

Несомненно, что нужно учесть и математически описать факторы потребительской среды (спрос населения, каналы торговой сети). Информация может быть получена путем маркетинговых исследований емкости потребительского рынка, на основе анкетного опроса населения (покупателей). В конечном итоге определяется уровень удовлетворения спроса на продукты в разрезе ассортимента, количества и качественных характеристик.

Таким образом, постановка оптимальной программы развития предприятия направлена на учет технических, технологических, маркетинговых и финансовых условий, что позволит обеспечить ее адекватность реальным процессам производства.

С точки зрения временного промежутка (горизонта планирования) можно различить задачи двух типов - задачу текущего производства (краткосрочная задача) и задачу перспективного развития (долгосрочная задача).

Краткосрочная задача ставится на один производственный цикл - от начала производства товара до момента выхода фирмы со своим товаром на рынок. Здесь решается задача рационального использования уже имеющихся в распоряжении фирмы ресурсов, производственных мощностей, сырья, расходов на заработную плату. Поэтому математические модели краткосрочной задачи фирмы представляют собой оптимизационные задачи с ограничениями.

Долгосрочная задача охватывает период, достаточный для принятия и реализации крупномасштабных решений: наращивания или сокращения основных фондов, изменения структуры производства, определения долгосрочных инвестиций, страховок и др. Эти затраты непосредственно не зависят от объема текущего выпуска. Поэтому математические модели долгосрочной задачи фирмы являются задачами безусловной оптимизации.

Для моделирования задач фирмы необходимо формализовать такие понятия, как затраты, выпуск, их цены, доход, издержки и производственные возможности фирмы.

Долгосрочная задача.  На долгосрочный период фирма может планировать любые затраты, поэтому модель задачи имеет вид:

 

 

 

Это есть задача безусловной максимизации прибыли. Здесь постоянные затраты не учтены, так как они не влияют на максимизацию функции по переменным затратам .

 Краткосрочная задача. (слайд 9) Эта задача планируется с учетом наличных на данный период запасов ресурсов, поэтому ее модель строится на условную оптимизацию:

при ограничениях, учитывающих наличие существующих ресурсов.

3.3. Описание структурной модели рассмотрим на примере предприятий мясомолочной промышленности.

В базовую ЭММ входят следующие группы ограничений.

1. По объему заготавливаемого сырья

где номер вида исходного сырья (ресурса, продукта); множество видов сырья;

количество поступившего сырья вида ; гарантированные поставки сырья вида ;

дополнительно закупаемый объем сырья вида .

2. По максимальному количеству приобретаемого сырья

где - максимальный объем сырья вида , закупаемый сверх договорных (государственных) поставок.

3. По распределению имеющегося сырья

где номер направления (способа) использования сырья; множество направлений (способов) использования сырья; количество сырья вида , используемого способом вида .

4. По использованию основных ресурсов

 ,

где номер вида конечного продукта;

множество видов конечных продуктов;

I₂ – множество видов ресурсов;

количество готовых продуктов вида , полученных в результате переработки сырья вида ;

– расход ресурса вида i на выпуск единицы продукта вида i⁰;

A_i – наличие ресурсов вида i.

5. По использованию сырья для производства конечных продуктов:

а) ;

б) ,

где множество способов (направлений) переработки сырья;

I₃ – множество видов конечных продуктов, входящих в однородную группу;

показатель расхода сырья вида  на единицу конечного продукта вида .

6. По выпуску отдельных продуктов или их ассортиментных групп с учетом загрузки производственных линий, цехов и участков:

а) ;

б) ;

в) ,

где номер группы продуктов;

I₄ – множество групп выпускаемых конечных продуктов;

множество способов переработки сырья для производства продуктов однородной группы;

 соответственно минимальная и максимальная мощность линии для получения продукта вида  из сырья вида ;

максимальная мощность цеха для изготовления группы продуктов вида из сырья вида ;

– максимальная мощность производственного участка для получения продуктов при переработке сырья вида .

7. По балансу производства и реализации готовых продуктов

где номер канала реализации;

множество каналов реализации;

количество готовых продуктов вида , реализуемых по каналу вида .

8. По предельным объемам сбыта

где соответственно минимальный и максимальный объем конечного продукта вида для сбыта по каналу вида .

Целевая функция – максимизация прибыли перерабатывающего предприятия (выручка за вычетом затрат на заготовку сырья и его переработку, а также издержек по сбыту продуктов) имеет следующий вид:

где выручка от реализации единицы конечного продукта при сбыте по каналу вида ;

затраты на заготовку единицы сырья вида ;

затраты на производство единицы готового продукта вида в результате переработки сырья вида ;

затраты на сбыт единицы готового продукта вида при реализации по каналу вида .

Рассмотрим фрагмент составления развернутой экономико-математической задачи на примере оптимизации производства и сбыта конечных продуктов молокоперерабатывающего предприятия.

1. Соотношение по объему заготавливаемого молока:

,

где количество поставляемого молока, т;

количество закупаемого молока вне сырьевой зоны (у населения, у молочных заводов, в том числе на давальческих основах), т;

40836 – количество заготовок молока согласно договорам по предприятиям и объектам сырьевой зоны, т. На молочный завод поступит 30323 т молока от коллективных хозяйств и 10513 т молока от сельскохозяйственных унитарных предприятий.

2. Ограничение по максимальному количеству закупаемого молока:

х₂₃  3500,

где 3500 – максимальное количество молока, которое может быть дополнительно закуплено, т.

3. По распределению сырья:  х₁ = х₂+х₃+х₄+х₅+х₆+…,

где количество молока после первичной обработки, т;

х₃ , х₄ , х_{5 ,} х₆ – соответственно объем молока для переработки в масло (сладкосливочное, любительское, крестьянское), сыр, молочные консервы, мороженое, т.

Планируется, что сырье будет перерабатываться не только на данном заводе. От 3 до 5% общего объема молока после первичной обработки поступит на молочный комбинат областного центра по цене 200 у.д.е. за 1 т. В этом случае вводятся математические ограничения по объему молока после первичной переработки:

 

 4. Соотношение по использованию производственных ресурсов (например, электроэнергии):

100(х₁₁+х₁₂+х₁₃) + 62х₁₄ +… 512000,

где х₁₁, х₁₂, х₁₃, х₁₄ – соответственно количество выпускаемого масла (сладкосливочного, любительского, крестьянского), сыра, т;

100; 62 – соответственно расход электрической энергии на производство 1 тонны каждого вида конечного продукта, кВт∙ч; 512000 – плановый объем электроэнергии, кВт∙ч.

Подобные ограничения записываются также для других основных ресурсов: по расходу пара (т); по расходу холода (тыс. ккал) и т.д.

5. По использованию молока для производства конечных продуктов:

а) по расходу сырья для выпуска масла:

23,6х₁₁+22,4х₁₂+20,8х₁₃ х₃;

б) по расходу сырья для выпуска сыра:

10,3х₁₄  х₄ ,

где 23,6; 22,4; 20,8; 10,3 – соответственно расход молока (т) для производства 1 тонны масла (сладкосливочного, любительского, крестьянского) и сыра. Аналогичные ограничения можно записать для других продуктов.

6. По выпуску продуктов (или загрузке сырьем) с учетом мощности производственных линий, цехов и участков:

а) по производству сыра: х₁₄ 1500,

где 1500 – максимальная мощность линии для получения сыра, т;

б) по производству масла: х₁₁+х₁₂+х₁₃ 950,

где 950 – максимальная мощность цеха по производству масла, т;

в) по участку цельномолочной продукции (ЦМП): х₇ + х₈ 9800,

где х₇, х₈ – количество сырья, направленного на производство молока пастеризованного и кефира, т; 9800 – максимальная мощность производственного участка для получения цельномолочных продуктов (в пересчете на молоко), т.

7. По балансу производства и реализации молочных продуктов (например, сыра):

х₁₄ = х₁₉ + х₂₀ + х₂₁ + х₂₂ ,

где соответственно реализация сыра по различным каналам: областному молочному заводу и столичному хладокомбинату, белорусским и иностранным коммерческим предприятиям, т. Такие же ограничения записываются в разрезе других молочных продуктов.

8. По предельным объемам сбыта (например, сыра):

; ; ; ,

где 210 и 300 – соответственно предельные поставки сыра областному и городскому молочному заводу, т;

250 – максимальный объем продажи продукта столичному хладокомбинату, т;

200 – минимальное количество сыра для белорусских предприятий (горпищепромторгу, облпотребсоюзу и др.), т. Аналогичные ограничения можно записать для других продуктов.

Целевая функция – максимизация прибыли перерабатывающего предприятия:

F_max = 2310х₁₉ +2315х₂₀ + …- 200х₁ – 134х₁₄ – 52х₁₉ - 53х₂₀ - …,

где 2310 и 2315 – цена 1 тонны сыра при реализации его областному городскому молочному заводу и столичному хладокомбинату, у.д.е.;

200 – стоимость 1 тонны закупаемого сырья, у.д.е.;

134 – затраты на переработку молока для получения 1 тонны сыра, у.д.е.;

52 – затраты на сбыт 1 тонны сыра при его реализации областному городскому молочному заводу, у.д.е.;

53 – затраты по реализации 1 тонны сыра при его реализации столичному хладокомбинату, у.д.е.

В некоторых постановках критерием оптимальности экономико-математической задачи может быть максимум выручки от реализации выпускаемых молочных продуктов.

Запись условий экономико-математической модели по мясоперерабатывающему предприятию имеет общее содержание, присущее для объектов молочной промышленности, однако иногда отличается рядом особенностей, которые рассмотрим более подробно. Разработка экономико-математической задачи осуществляется по группам ограничений на основе системы переменных и исходной информации.

Первые две группы ограничений – по заготавливаемому и приобретаемому сырью:

1) по количеству поступившей говядины (т) ,

где объем говядины;

600 – гарантированные, согласно договорам, поставки говядины;

х₃ – дополнительно закупаемый объем  говядины у фермерских хозяйств.

2) по покупке говядины у населения (т) ,

где 15 – максимальное количество дополнительно закупаемой говядины.

Аналогично записываются условия по количеству свинины (на основании договоров-контрактов на поставку сырья с предприятиями, производящими животноводческую продукцию). Здесь необходимо иметь в виду, что возможно приобретение крупного рогатого скота следующих категорий: тощий; нижесредней, средней, высшей упитанности. Подобные категории характерны также при закупке свиней. Исходя из этого различаются выход мяса и качественные характеристики основного сырья, т.е. говядина высшего, первого, второго сорта, жирная; свинина нежирная, полужирная, жирная; шпик (боковой, хребтовый). Более детальное изучение приводит к рассмотрению поставок мяса овец (баранина), мяса второстепенных животных (козы, лошади, кролики), мяса птицы (кур, уток, гусей, индеек, цесарок).

Следующая группа ограничений – по распределению имеющегося сырья:

3) по распределению говядины (т) х₁ = х₅+х₆+ х₇+х₈ + х₉ +…,

где х₅ – количество говядины для производства полуфабрикатов крупнокусковых;

х₆ – количество говядины для производства вареной колбасы;

х₇ – количество говядины для производства полукопченой колбасы №1;

х₈ – количество говядины для производства полукопченой колбасы №2;

х₉ – количество говядины для производства мясного фарша.

Аналогично записываются условия по распределению свинины и других видов мясного сырья. Ограничения, связанные с использованием трудовых, материальных и других ресурсов, имеют типичное содержание для любого перерабатывающего предприятия.

Далее рассмотрим соотношения по использованию сырья для производства конечных продуктов. Так, условие по расходу говядины для выпуска вареной колбасы имеет вид: 0,667 х₂₁  х₆,

где х₂₁ – количество выпускаемой вареной колбасы, т;

0,667 – расход говядины (т) для производства 1 тонны вареной колбасы.

Однако в некоторых задачах данная группа ограничений может быть заменена однородными условиями. Покажем это на примере, где известна информация по отдельным выпускаемым продуктам (табл. 13.1).

 

Т а б л и ц а 13.1 – Экономические показатели выпуска готовых продуктов

 

 

Согласно техническим условиям дана рецептура для полукопченой колбасы №1 (кубанская), полукопченой колбасы №2 (липецкая), вареной колбасы (адмиралтейская высшего сорта). Выход продукта – кубанской колбасы – составляет 78 % от массы несоленого сырья. Для липецкой и адмиралтейской колбас этот показатель соответственно равен 85 % и 105 %. Поэтому расход говядины на 100 кг продукта, например, колбасы вареной рассчитывается так: 70:1,05=66,7 кг, что соответствует 0,667 т говядины на 1 тонну конечной продукции. Коэффициент выхода продукта на единицу сырья является обратной величиной к рассчитанному показателю. Рассматривая данный пример для колбасы вареной, покажем это: 1,50 = 1: 0,667; 3,50 = 1: 0,286.

В данном примере показаны два основных вида сырья несоленого (говядина, свинина), хотя для других мясных продуктов возможно использование следующих компонентов: шпик, крахмал, мука пшеничная, молоко сухое цельное или обезжиренное и т.д. Таким образом, исходя из этих особенностей, запишем ограничение №5 рассмотренной ранее структурной экономико-математической модели так:

5. По производству мясных продуктов с использованием основного сырья

 ,

где  – коэффициент выхода конечного продукта вида i⁰ на единицу сырья вида i.

Детализируем данное математическое соотношение: по производству колбасы вареной с использованием говядины

1,50х₆ = х₂₁,

где 1,50 – коэффициент выхода колбасы вареной (т) на 1 тонну говядины.

Аналогично записывается условие по производству колбасы вареной с использованием свинины, а также подобные ограничения для других видов мясных продуктов.

Следующая группа ограничений – по выпуску однородной группы продуктов и их отдельных видов с учетом загрузки производственных мощностей завода:

по производству колбас полукопченых

х₂₂ + х₂₃  95,

 где х₂₂, х₂₃ – соответственно количество выпускаемой полукопченой колбасы №1 и полукопченой колбасы №2, т;

95 – максимальная мощность цеха по выпуску колбас полукопченых, т;

по производству колбас вареных

х₂₁  50,

где 50 – максимальная мощность линии по выпуску колбас вареных, т;

по участку для выпуска полуфабрикатов из говядины

х₅ + х₉  200,

где 200 – максимальная мощность производственного участка для получения полуфабрикатов  (в пересчете на мясо), т.

Рассмотрим фрагмент записи группы ограничений по балансу производства и реализации готовых продуктов:

по выпуску и сбыту полукопченой колбасы №1

х₂₂ = х₂₈ + х₃₆ ,

где х₂₈ – количество колбасы, реализуемой в фирменном магазине, т;

х₃₆ – количество колбасы для сбыта управлению торговли, т.

Аналогичные ограничения записываются по балансу производства и распределения других видов мясных изделий. Далее изучим запись математических соотношений по предельным объемам сбыта однородной группы продуктов и их отдельных видов:

по минимальному количеству продажи полукопченой колбасы №1 в фирменном магазине        х₂₈   20,

где 20 – минимальное  количество полукопченой колбасы №1, реализуемой в фирменном магазине, т;

по максимальному количеству продажи полукопченой колбасы №1 для  управления торговли    х₃₆  35,

где 35 – максимальное  количество полукопченой колбасы №1, реализуемой через управление торговли соседнего района, т.

Таким образом, записываются ограничения по другим мясным продуктам. Максимизация целевой функции (прибыли перерабатывающего завода) имеет вид

F_max = 3,5х₂₈ + 3,7х₃₆ + … – 1,2х₁ – 0,21х₂₂ – 0,08х₂₈ – 0,11х₃₆ –…,

где 3,5 и 3,7 – розничная и отпускная цена 1 тонны полукопченой колбасы №1 при сбыте в фирменном магазине и для управления торговли соседнего района, у.д.е.;

1,2 – стоимость 1 тонны закупаемой говядины, у.д.е.;

0,21 – затраты на переработку сырья для получения 1 тонны полукопченой колбасы №1, у.д.е.;

0,08 – затраты на сбыт 1 тонны полукопченой колбасы при ее реализации в фирменном магазине, у.д.е.;

0,11 – затраты по реализации 1 тонны полукопченой колбасы для управления торговли, у.д.е.

В некоторых постановках экономико-математических задач целевой функцией может быть максимум денежной выручки от реализуемых продуктов:

,

где цена реализации единицы конечного продукта  при сбыте по каналу вида ;

количество готовых продуктов вида , предназначенных для реализации по каналу вида .

 

2.3. ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ РАЗВИТИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ

 

2.3.1 Концептуальная модель стратегии предприятия

 

На современном этапе развития рыночных отношений подъем и конкурентоспособность отечественной промышленности во многом за висят от эффективности промышленных предприятий. Ключевой характеристикой хозяйственной деятельности предприятия является его экономическая устойчивость [1]. Анализ зарубежных и отечественных источников по стратегическому менеджменту показывает, что формирование стратегии устойчивого развития предприятия, как функциональной стратегии, определяется в первую очередь применением в целом в управлении предприятием методов стратегического менеджмента – прогнозирования, планирования и соответствующего механизма реализации. В этом случае формирование стратегии устойчивого развития предприятия осуществляется на общей для всей системы стратегического менеджмента основе [1–5]. Стратегии предприятий выстраиваются по иерархическому принципу. При этом уровни стратегий, комплексность, их интеграция различны в зависимости от типа и размера предприятия.

Концептуальная модель стратегии предприятия устанавливает следующие этапы ее формирования [4].

1.    Анализ среды функционирования: а) внешняя среда;

б) внутренняя среда.

2.    Целеполагание.

3.    Формулирование функциональных стратегий и выбор альтернатив:

а) стратегия маркетинга; б) финансовая стратегия; в) стратегия НИОКР;

г) стратегия производства; д) социальная стратегия;

е) экологическая стратегия;

ж) стратегия организационных изменений.

4.    Определение механизма реализации стратегии предприятия.

Экономико-математическая модель инновационной стратегии предприятия была разработана М.А. Батьковским [5]. Взяв за основу данные материалы, построим экономико-математическую модель формирования стратегии устойчивого развития предприятия.

В результате анализа устойчивого развития предприятия определено, что его основой является технология, которая сегодня рассматривается как важнейшее средство создания и под- держания конкурентного преимущества пред- приятия. Предприятие на основе использования технологий стремится к повышению общего уровня устойчивого развития, который в самом общем виде можно представить в виде:

IL(R,TL, MQ) ,                     (1)

где IL – общий уровень устойчивого развития предприятия; R – объем ресурсов предприятия; TL – уровень технологического развития предприятия; MQ – качество управления.

При формировании стратегии устойчивого развития для определения конкурентных преимуществ предприятия следует оценить его потенциал устойчивости – систему взаимосвязанных ресурсов предприятия, необходимых для осуществления деятельности, нацеленной на устойчивое развитие предприятия, с учетом их ограниченного характера и влияния на конечный результат его деятельности. Существующие методики оценки потенциала устойчивости предприятия являются обычно сложными в применении. Существенным недостатком данных методик является отсутствие системного подхода к отбору оценочных показателей. Перечень показателей, предлагаемых различными авторами для решения рассматриваемой задачи, весьма значителен, но они, как правило, взаимно не согласованы и дублируют друг друга. А наиболее простые методики, в которых используется небольшое число оцениваемых показателей, не позволяют комплексно решить данную задачу. Критерием, наиболее полно отвечающим поставленным требованиям, является максимальная эффективность использования имеющегося потенциала устойчивости предприятия, который можно выразить следующим образом:

E IP = R / IP ® max ,

Где EIP эффективность использования имеющегося потенциала устойчивости предприятия; R – результат функционирования потенциала устойчивости предприятия; IP – величина потенциала устойчивости предприятия.

Экономико-математические модели стратегии устойчивого развития предприятия – это гомоморфные отображения ее в виде совокупности логических отношений, уравнений, неравенств, графиков. Они объединяют группы отношений элементов стратегии устойчивого развития предприятия в аналогичные отношения элементов ее модели. Преимущество использования данных моделей заключается в возможности получения с их помощью подтверждаемых расчетами выводов об общих характеристиках устойчивого развития предприятия.

Экономико-математическая модель стратегии устойчивого развития предприятия определяет последовательность возможных состояний предприятия – траекторий его устойчивого развития, которые не могут рассматриваться как строго детерминированные, жестко регламентирующие его деятельность. Они характеризуют лишь сценарии его развития, задающие принципиально возможные пути, общие перспективы деятельности предприятия, подчиненные достижению намеченных стратегических целей. Поэтому при формировании стратегии устойчивого развития предприятия необходимо разрабатывать несколько ее вариантов.

Для комплексного исследования и моделирования стратегии устойчивого развития предприятия может быть применен метод динамического моделирования, включающий приемы формализации изучаемых процессов управления экономической деятельностью предприятия. Это позволяет:

– структурировать процесс формирования стратегии устойчивого развития предприятия;

–      описать и спрогнозировать процессы развития устойчивого развития предприятия;

–      охватить большое число переменных, характеризующих устойчивое развитие предприятия.

Результаты формализации устойчивого развития предприятия должны быть содержательно емкими, но одновременно максимально простыми, насколько это позволяет логика моделируемого процесса. Ввиду того, что устойчивое развитие предприятия определяется большим числом характеристик, при его формализации должны выбираться лишь те из них, которые на основе теоретических предпосылок рассматриваются как основные и отвечают поставленной задаче моделирования. Ключевую роль в описании устойчивого развития предприятия при его формализации играет выбор исходных ресурсов, применяемых технологий, интенсивности их использования, ассортимента и объема выпуска продукции в прогнозируемый период времени с учетом результатов оценки потенциала устойчивости предприятия. При этом выбираемые характеристики должны быть измеряемыми.

 

2.3.2. Моделирование стратегии устойчивого развития

 

 

 Моделирование стратегии устойчивого развития предприятия должно заключаться в разработке моделей формирования стратегии устойчивого развития предприятия и их оценки. Для построения модели формирования стратегии устойчивого развития предприятия необходим соответствующий расчетно-аналитический инструментарий, в качестве которого могут выступать различные методы, применяемые в экономическом прогнозировании. Применение данных методов предполагает осуществление многовариантных расчетов с целью количественной оценки состояния, в которое перейдет предприятие при использовании некоторого вектора управляющего воздействия (стратегии). Изменяя вектор воздействия на предприятие, можно получить состояние предприятия, которое будет близким к оптимальному.

Моделирование процесса формирования стратегии устойчивого развития предприятия требует также выбора системы технико-эконмических показателей, характеризующих его устойчивое развитие, и алгоритмов их расчета. Различные варианты стратегии устойчивого развития предприятия должны содержать расчеты такого набора технико-экономических показателей, который позволяет проводить разнообразные количественные и качественные оценки альтернатив устойчивого развития. Решение указанной задачи возможно только на основании достаточно полного и представительного набора показателей, характеризующих вариант стратегии. С этой целью модель должна содержать расчеты необходимых показателей, определяемых в динамике.

Для построения модели формирования стратегии устойчивого развития предприятия процесс ее разработки может быть структурирован, то есть из множества факторов, влияющих на данную стратегию, выделяются важнейшие, которые определяют содержание укрупненных элементов данной модели – ее блоков (см. рис.). Внутри каждого блока выбираются характеристики (показатели), и с помощью математического аппарата, включающего десятки расчетных  формул,  устанавливаются количественные связи между ними, а также разрабатываются модели  решения отдельных  задач, представленных в указанных блоках. Например, модель, соответствующая первому блоку, позволяет определять прогнозные величины основных финансовых показателей, достижение которых обеспечивает предприятию возможность осуществления желаемого устойчивого развития. Она базируется на теоретическом положении, согласно которому, разрабатывая стратегию устойчивого развития, необходимо учитывать, что стабильное функционирование предприятия возможно лишь при объеме прибыли, достаточном для покрытия его обязательных платежей (процентов по кредитам, заработной платы, налогов и т.д.): PS = CP ´ KSF

где            P_S           – минимальный необходимый для функционирования предприятия объем прибыли, CP – обязательные платежи, KSF – коэффициент запаса

 

 

 

 

 

 

 

 

Модель формирования стратегии устойчивого развития предприятия

 

 

Блок прогнозирования финансовых результатов устойчивого развития предприятия

 

 

Блок оценки устойчивого развития предприятия

 

 

 

Блок прогнозирования взаимодействия предприятия с рыночной средой

 

 

Блок прогнозирования кадрового развития предприятия

 

 

Блок прогнозирования технологического развития предприятия

 

 

Блок прогнозирования объема выпуска продукции

с учетом рыночных особенностей и интересов предприятия

 

 

Блок прогнозирования развития производственных мощностей предприятия

 

 

Блок прогнозирования уровня качества продукции, выпускаемой предприятием

 

Рис. Основные блоки модели формирования стратегии устойчивого развития предприятия

 

 

В то же время для устойчивого развития предприятия необходим более высокий уровень прибыли:

K_D = P_R / P_S  > K_min ,               (4)

где K_D – коэффициент, отражающий превышение объема прибыли предприятия P_R , необходимого для реализации его стратегии устойчивого развития, над объемом  PS   , минимально необходимым  для  функционирования предпри- ятия;

Kmin минимальное значение коэффициента K_D

Коэффициент K_D характеризует внутренние параметры предприятия и финансовые аспекты его устойчивого развития. Для моделирования стратегии устойчивого развития предприятия предлагается также использовать коэффициент устойчивости его экономического роста EG_S :

EG_S  = P_I  / IF_Ann

 

где P_I – часть прибыли, которую предполагается инвестировать в инновационное развитие предприятия,   IF_Ann  –  прогнозируемая среднегодовая сумма собственных средств предприятия.

Коэффициенты K_D и EG_S позволяют характеризовать финансовую составляющую деятельности предприятия и оценивать стратегию устойчивого развития предприятия с точки зрения прогнозируемых финансовых результатов ее реализации.

Модели решения задач, представленных на рисунке, характеризуют отдельные аспекты устойчивого развития предприятия – его ключевые параметры. Методической основой проводимых в рамках отдельных блоков расчетов служат общие для них принципы, правила и рекомендации.

Сравнивая результаты моделирования стратегии устойчивого развития, можно сделать вывод об их качестве и выбрать оптимальный вариант стратегии. Оценка должна осуществляться на основе сопоставления основных прогнозных показателей, которые рассчитываются при формировании возможных вариантов данной стратегии. Однако на практике эта задача трудноразрешима. Сложность оценки стратегии устойчивого развития заключается в том, что она затрагивает практически все без исключения показатели, характеризующие функционирование и развитие предприятия. Поэтому делать заключение об эффективности той или иной стратегии устойчивого развития на основе ана- лиза изменений лишь отдельных показателей сложно, так как эти изменения часто бывают разнонаправленными. Решение указанной проблемы представляется в системном подходе к моделированию оценки стратегии устойчивого развития, то есть путем разработки и применения нескольких моделей данной оценки или выбора и использования одной из предложенных моделей, в наибольшей степени соответствующей целям и задачам раз- вития конкретного предприятия. Для решения указанной задачи предлагаются 4 модели оценки: экономического эффекта от реализации стратегии; устойчивости экономического развития; эффективности использования потенциала устойчивости предприятия; эффекта устойчивого развития капитала. Методические основы и инструментарий моделирования, используемые в данных моделях, близки по своему содержанию и поэтому могут быть рассмотрены на примере модели оценки экономического эффекта от реализации стратегии устойчивого развития, которая состоит из двух блоков: оценки сравнительного и оценки абсолютного эффекта. Суть предлагаемого подхода к оценке сравнительного экономического эффекта от реализации стратегии устойчивого развития состоит в сопоставлении эффектов двух или более разработанных на один и тот же временной период вариантов стратегии. С этой целью для каждого

варианта стратегии           j рассчитывается обобщенная  характеристика   Ai ,  при  условии, что определен вектор показателей A = {a _j} , где j = 1,..., m и имеется i = 1,..., n

Оценка абсолютного экономического эффекта от реализации стратегии устойчивого развития на момент времени t₁ осуществляется путем расчета прогнозируемого эффекта Et1 от деятельности предприятия за период реализации стратегии устойчивого развития: E_t1 = V_t1 - C_t1 ,

где  Vt1   – прогнозируемая на момент времени t₁ стоимостная   оценка   результатов устойчивого развития; Сt1 – прогнозируемые на момент времени t₁ затраты на деятельность предприятия, нацеленную на его устойчивое развитие. Применение моделей оценки стратегии устойчивого развития, одна  из которых  в  общем виде представлена выше, позволяет выбрать оптимальный вариант данной стратегии из числа возможных. Внедрение результатов проведенного исследования в хозяйственную практику предприятий свидетельствует о том, что они способствуют повышению эффективной деятельности и ускорению устойчивого развития предприятия

На главную