Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Математическая экономика» для специальности 1-74 01 01 Экономика и организация производства в отраслях

методические указания по выполнению

лабораторной работы №1

 

Изучение эластичности спроса

Назначение. Научиться рассчитывать основные характеристики производственных функций с последующей экономической интерпретацией, а также решать различные производственные задачи.

Пример 1.

Фирма занимающаяся речными перевозками использует труд перевозчиков (L) и паромы (К). ПФ имеет вид Y=10L^0.5K^0.5. Размер труда равен 900, цена капитала равна 400. Определить предельный продукт труда, капитала и предел нормы технической замены капитала трудом, эластичность выпуска, эластичность производства.

Пример 2.

Технология фирмы описывается функцией: , где Q – объём выпуска, K – размер капитала, L – размер труда.

Определите средний, предельный продукт труда, капитала, предельную норму технической замены капитала трудом, эластичность выпуска и производства.

Решение.

1)      Определяем средний продукт капитала и труда по формуле: .

Тогда , показывает, что на единицу капитала приходится 5,33 единиц выпуска.

   , показывает, что на единицу труда приходится 12 единиц выпуска.

2) Определяем предельный продукт капитала и труда по формуле:

Тогда , показывает, что на каждую дополнительную единицу  капитала выпуск дополнительно прирастает на 2,67 единиц, если затраты других ресурсов (труда) не изменяются.

 показывает, что на каждую дополнительную единицу  труда выпуск дополнительно прирастает на 24 единицы, если затраты других ресурсов (капитала) не изменяются.

3) Определяем предельную норму технической замены капитала трудом по формуле:

 

Тогда , показывает (приближённо), что на 0,11 единиц надо увеличить затраты труда, при неизменном выпуске, если затраты капитала уменьшатся на единицу.

4) Определяем эластичность выпуска по формуле:

, показывает (приближённо), что на 0,5% изменится выпуск, если затраты капитала изменятся на 1%, при неизменном объёме других ресурсов (труда).

 , показывает (приближённо), что на 2,0% изменится выпуск, если затраты труда изменятся на 1%, при неизменном объёме других ресурсов (капитала).

5) Определяем эластичность производства по формуле:

, показывает (приближённо), что выпуск изменится на  2,5% при изменении масштаба производства на 1%, т.е. имеется возрастающая эффективность от укрупнения масштабов производства.

Пример 5.

Эластичность выпуска по капиталу равна 0,9, эластичность выпуска по труду равна 0,2, Использование капитала уменьшилось на 7%, использование труда увеличилось на 8%. Определите на сколько в процентном соотношении и в каком направлении изменится эластичность производства.

Пример 4.

Эластичность выпуска по капиталу равна 0,4%, по труду – 0,5%. Использование капитала увеличилось на 5,0%, использование труда – уменьшилось на 6,0%. Определите на сколько в процентном соотношении и в каком направлении изменится эластичность производства.

Решение.

1)      Определим эластичность производства при начальных условиях:

 %.

2)      Определим эластичность производства при изменённых значениях труда и капитала:

 %.

3)      Значит изменения масштаба производства составят:

%, значит, при новых условиях выпуск уменьшится на 1,0%.

Пример 5.

Производственная функция фирмы имеет вид: Q=9K^0.5L² . Объём капитала составляет 64, объём труда – 20.

·           Определите объём выпускаемой продукции.

·           На сколько должен возрасти объём капитала, чтобы выпуск не изменился, если было решено уменьшить объём труда на 8.

·           Во сколько раз возрастёт выпуск и какая отдача от масштаба производства, если объём капитала увеличить в три раза.

Пример 6.

Производство пылесосов характеризуется производственной функцией: . В течении недели затрачивается 125 часов труда и 125 часов работы станков.

Определить:

- сколько пылесосов выпускается в неделю;

- на сколько часов должны возрасти затраты труда, чтобы выпуск не изменился, если было решено уменьшить работу станков на 5 часов;

- во сколько раз возрастёт выпуск  и какова отдача от масштаба производства, если администрация приняла решение увеличить использование ресурсов в 8 раз?

Решение.

1)      Определим выпуск пылесосов в неделю: .

2)      Определим изменения использования труда, при неизменном выпуске:

.

Значит использование труда возрастёт в часа.

3)      Определим рост выпуска и отдачу от масштаба производства:

.

Тогда выпуск возрастёт в 40000/2500=16 раз, следовательно 16/8=2 , т.е. наблюдается возрастающая отдача от увеличения масштабов производства.

Пример 7.

Производственная функция фирмы имеет вид: Q= АK^0.5L² . Известно, что капиталовооружённость (К/L) равна 36. Найти предельную норму замещения труда капиталом.

Пример 8.

Дана производственная функция: . Известно, что капиталовооружённость  . Найти предельную норму замещения капитала трудом.

Пример 9.

Дана производственная функция: . Известно, что капиталовооружённость  . Найти предельную норму замещения капитала трудом.

Решение.

Предельную норму замещения капитала трудом рассчитывается по формуле:

.

Наёдём ;

 

.

Тогда , значит (приближённо), что на 1/5 единиц надо увеличить затраты труда, при неизменном выпуске, если затраты капитала уменьшатся на единицу.

Пример 10.

Фирма за определённый период выпускает продукции на 900 у.е., размер капитала составляет 700 у.е., размер труда – 100 чел. Найти производственную функцию, при условии, что она есть функция Кобба-Дугласа (Q= АK^α L^β ), в которой α+β=1 и при увеличении выпуска на 90 у.е. надо приобрести оборудование на сумму 35 у.е.

Пример 11.

Производственная функция имеет вид Q= АK^α L^β . Чтобы увеличить выпуск продукции на 3б0%, надо увеличить фонды на 6,0% или численность рабочих на 9,0%. Один работник за месяц производит продукции на 1 млн. руб., а всего работников  1000 человек. основные фонды оцениваются на 10 млрд. руб.

Найти вид производственной функции и величину средней фондоотдачи.

Решение.

1)      Для определения вида производственной функции определим значения  и :

для определения  рассмотрим изменения по К, т.е. составляем пропорцию

6% – 3%,

1% – х        → х=3/6=1/2, т.е. =1/2

для определения  рассмотрим изменения по L, т.е. составляем пропорцию

9% – 3%,

1% – х        → х=3/6=3/9, т.е. =1/3.

Тогда вид производственной функции следующий: Q= АK^1/2 L^1/3.

2)      Для определения величины средней фондоотдачи воспользуемся формулой:

Пример 12.

Производственная функция имеет вид: , где Q – количество продукции за день, L – часы труда, K – часы работы машин. Пусть в день затрачивается 9 часов труда и 9 часов работы машин.

Каково максимальное количество продукции, произведённое за день?

Предположим фирма удвоила затраты обоих факторов. Определите эффект масштаба производства.

 

методические указания по выполнению

лабораторной работы №2

 

Изучение издержек производства

Назначение. Научиться рассчитывать уравнение изокосты, её угол наклона, находить издержки фирмы, уравнение долгосрочного пути расширения.

Пример 1.

Производственная функция фирма имеет вид Y=100L·K. Цена труда  – 30, а капитала 120. Определить:

1)  наклон изокосты;

2)  общие и средние издержки 100 единиц продукции (при минимизации затрат).

Пример 2.

 Определить функцию предельных и средних издержек, , если функция издержек имеет вид  цены на ресурсы 540 и 400 руб. Ресурс К=200.

Пример 3.

Фирма, занимающаяся речными перевозками, использует труд перевозчиков (L) и паромы (K). Производственная функция имеет вид . Цена единицы капитала равна 20, цена единицы труда равна 20.

Каков будет наклон изокосты?

Какое количество труда и капитала должна привлечь фирма для осуществления 100 перевозок?

Каковы будут общие издержки? Средние издержки?

Решение:

1) Изокоста задается уравнением , где C - величина общих издержек (некоторая константа). Отсюда , т.е. наклон этой прямой равен -1 .

2)  Оптимальное количество труда и капитала для 100 перевозок определяется как точка касания изокванты и изокосты  при некотором C . Из первого равенства получаем: . Тогда . Так как общие издержки при этом должны быть минимальны, то, минимизируя C по L , найдем количество труда L :

и . Количество капитала найдем по формуле

 3) Общие издержки в этом случае равны , а средние издержки определяются как издержки на одну перевозку и равняются 400/100=4.

Пример 4.

Определить функцию издержек при ПФ Кобба-Дугласа, если цены на ресурсы 30 и 40 руб., коэффициент эластичности выпуска по факторам равен 0,5 и 0,5. Ресурс К=120.

Пример 5.

Издержки производства 100 штук некоторого товара составляют 300 тыс. руб., а 500 штук - 600 тыс. руб.

Считая функцию издержек линейной, определите величину издержек в тыс. руб. для выпуска 400 штук.

Решение.

 Запишем линейную функцию издержек в виде , где C – издержки производства, Y - объем выпуска, a, b - коэффициенты. Подставляя известные значения выпуска и соответствующих им издержек, получаем систему уравнений:

Отсюда находим , т.е.   .

При   получаем  

Пример 6.

Производственная функция фирмы имеет вид   . Цена труда составляет 30, а капитала – 120.

Чему равны средние издержки производства 100 единиц продукции, если фирма выбирает самый дешевый способ производства?

Пример 7.

Задана производственная функция фирмы . Цена обоих факторов равна 1.

Найдите способ производства 16 единиц продукции с наименьшими затратами.

Решение.

 Необходимо найти координаты точки касания изокванты  и изокосты при наименьшем из возможных значении C . Составляем систему:

Из первого уравнения  и , тогда из второго уравнения .

Найдем минимум C по х₂: , отсюда .

Тогда . Наименьшие затраты равны 1,6 .

Пример 8.

Задана производственная функция фирмы , где х₁ – труд мужчин, х₂  – труд женщин (в чел.-часах). Мужчины получают 5,6 долларов в час, женщины - 4 доллара в час.

Если фирма использует 81 чел.-час труда женщин и 64 чел.-часов труда мужчин, чтобы произвести 144 ед. продукции, то минимальны ли при этом затраты на данный выпуск?

Решение.

Минимальные издержки соответствуют точке касания изокванты соответствующей изокостой. В данном случае изокванта задается соотношением .

Построим для нее уравнение касательной в точке х₁=64, х₂=81, предварительно выразив х₁ через х₂: , значит, , т.е.  или – уравнение касательной.

Затраты в рассматриваемой точке равны , тогда  – уравнение изокосты.

Видим, что оно не совпадает с уравнением касательной, значит, точка х₁=64, х₂=81, не является точкой касания изокосты и изокванты, а, следовательно, издержки при этом не минимальны.

Пример 9.

Определите затраты капитала и труда, минимизирующие издержки производства единиц продукции, если производственная функция имеет вид: .

Решение выполнить графически.

Найти уравнение издержек C(Y) .

 Вычислите отношение

Пример 10.

Определите затраты капитала и труда, минимизирующие издержки производства единиц продукции, если производственная функция имеет вид: .

Решение выполнить аналитически.

Найти уравнение издержек C(Y) .

 Вычислите отношение

Пример 11.

Определите затраты капитала и труда, минимизирующие издержки производства 100 единиц продукции, если производственная функция имеет . Цена труда рана 2 ден. ед., цена капитала – 16 ден. ед.

 Решение выполнить аналитически и сделать схематичный чертеж.

Пример 12.

Производственная функция фирмы имеет вид: .

Найдите уравнение долгосрочного пути расширения производства и постройте его

график при условии, что .

 

методические указания по выполнению

лабораторной работы №3

 

Изучение ЗАСПД в различных постановках

 

Назначение. Научиться рассчитывать оптимальные параметры развития фирм в различных постановках.

Пример 1.

Производственная функция фирмы в краткосрочном периоде имеет вид ·. Определить: при каком уровне занятости общий выпуск максимален?

Пример 2.

В краткосрочном периоде производственная функция фирмы имеет вид: , где L - число рабочих.

При каком уровне занятости общий выпуск будет максимальным?

 Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти точку максимума функции Y(L). Продифференцируем ее по L и приравняем производную к нулю: .

Получаем квадратное уравнение, дискриминант которого , а корни .

Поскольку один из корней отрицательный, берем .

Количество рабочих - целое число, поэтому, округляя, получаем L=7.

Пример 3.

Производственная функция имеет вид . Если общий объем затрат не должен превышать 30, цена труда равна 4, цена капитала – 5, то при какой комбинации труда и капитала будет достигнут максимальный выпуск?

Решение.

Искомые значения труда и капитала являются координатами точки касания изокванты  (при некотором Y ) и изокосты .

Общие точки этих двух кривых удовлетворяют системе:

Отсюда . Найдем максимум Y по L: , т.е. . Тогда и максимальный выпуск равен 11,25.

Пример 4.

Производственная функция имеет вид . Цены факторов равны соответственно 2 и 6. Фирма стремится максимизировать выпуск, но ее финансовые ресурсы ограничены 30 единицами.

Чему будут равны затраты капитала и труда?

Решение.

Искомые значения труда и капитала являются координатами точки касания изокванты (при некотором Y ) и изокосты . Общие точки этих двух кривых удовлетворяют системе:

Отсюда . Возведем обе части последнего равенства в куб:

.

Найдем максимум по L : . Исключая случай , получаем   . Тогда .

Пример 5.

 Общие издержки фирмы составляют , где Q – число продукции. Цена единицы товара 90. Определить:

1)  выпуск продукции по этой цене;

2)  прибыль фирмы.

Пример 6.

 Получить выражение прибыли как функции от объёма выпуска продукции для ПФ Кобба-Дугласа, если L=10, цена продукции 100, цены на труд и капитал 50 и 15000 соответственно, оба коэффициента эластичности α=β=0,5.

Пример 7.

Общие издержки фирмы по ремонту автомобилей составляют , где S - число автомобилей. Пусть рыночная стоимость ремонта автомобиля равна 120 долларов.

Сколько автомобилей будет отремонтировано при этой цене?

Какую прибыль получит фирма?

Решение.

Доход фирмы определяется как , издержки - как . Тогда ее прибыль равна

Максимум прибыли находится из условия равенства нулю ее производной: . Отсюда S=30и П=1700.

 

 

методические указания по выполнению

лабораторной работы №4

 

Оптимальная стратегия развития предприятия

 

4. Перерабатывающая отрасль планирует выпускать следующий ассортимент молочных продуктов: масло, сыр, молоко пастеризованное, кефир, сметана, творог и мороженое. Для самообеспечения региона молочной продукцией часть ее будет реализована населению области (460000 человек) с учетом научно-обоснованных норм потребления на одного жителя. Кроме того, сбыт продукции будет осуществляться за пределы региона по следующим каналам:

а) биржевая торговля – до 1029 т масла (с 40% надбавкой);

б) аукцион – до 421 т сыра (с 35% надбавкой);

в) организованный оптовый рынок (ярмарка) – до 12,5 т творога фасованного  (с 30% надбавкой);

г) страны СНГ – молоко пастеризованное длительного срока хранения (до 45 т с 10% надбавкой);

д) в другие области в рамках республиканского обмена продуктами АПК – все виды молочных продуктов (с 15% надбавкой).

Продукция по рыночным каналам реализуется по ценам, превышающим цены розничной государственной торговли, на 10-40%.

5. Коэффициент сменности линий по переработке молока в продукты: масло – 2,01, сыр – 1,47, молоко пастеризованное – 1,64, кефир – 1,72, сметана – 1,36, творог – 1,59, мороженое – 1,1.

6. Экономические показатели по переработке молока в молочные продукты представлены в табл. 85.

 

Таблица 85. Параметры конечных продуктов из молока

 

 

На главную