Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Математическая экономика» для специальности 1-74 01 01 Экономика и организация производства в отраслях

методические указания по выполнению

лабораторной работы №5

 

Расчёты функции полезности и изучение законов Госсена

 

Назначение. Научиться определять оптимальный набор потребителя и предельную норму замещения товаров при различных условиях, а также  применять законы Госсена.

Пример 1.

 Пусть функция потребителя имеет вид , где х₁ и х₂ – два взаимозаменяемых товара. Потребитель потребляет эти товары в количестве х₁=3, х₂=5.

а) Найдите предельную норму замещения в этой точке.

б) Если потребление х₂ уменьшится до 2 как изменится потребление х₁, чтобы функция полезности не изменилась?

Пример 2.

 Пусть функция потребителя имеет вид , где х₁ и х₂ – два взаимозаменяемых товара. Потребитель потребляет эти товары в количестве х₁=4, х₂=9.

а) Найдите предельную норму замещения в этой точке.

б) Если потребление х₂ увеличится до 12 как изменится потребление х₁, чтобы функция полезности не изменилась?

Пример 3.

 Оптимальный набор потребителя составляет х₁=10 и х₂=8. Функция полезности потребителя имеет вид: .

а) Определите, за сколько единиц х₁ потребитель отдаст х₂=3?

б) Определите, предельную норму замещения до обмена и после?

Пример 4.

Рассчитайте предельную полезность денег для потребителя, если модель его поведения имеет вид:

Пример 5.

Пусть функция потребителя имеет вид , где х₁ и х₂ – два взаимозаменяемых товара. Потребитель потребляет эти товары в количестве х₁=9, х₂=10 единиц.

а) Найдите предельную норму замещения в этой точке.

б) Если потребление х₁ сократилось до 4 единиц как изменится потребление х₂, чтобы функция полезности не изменилась?

Решение.

а) Определим предельную норму замещения по формуле , а для этого находим производные функции полезности по х_{1 и} х_2:

 

Тогда MRS= – 17,783/15,3= – 1,162. Значит за единицу блага х₂ потребитель готов отдать 1,162 единиц блага х₁.

б) Рассчитаем изначальное значение функции полезности:

Т.к. функции полезности не изменилась, а количества блага х₁=4, то путём подстановки и математических преобразований находим потребление блага х_2:

Пример 6.

Оптимальный набор потребителя составляет х₁=6 и х₂=8. Функция полезности потребителя имеет вид: .

а) Определите, за сколько единиц х₁ потребитель отдаст х₂=2?

б) Определите, предельную норму замещения потребителя до обмена и после?

Решение.

а) Рассчитаем изначальное значение функции полезности:

Т.к. функции полезности не изменилась, а количества блага х₂ изменится на 2 единицы (пусть уменьшится), то путём подстановки и математических преобразований находим потребление блага х_1:

.

Значит за 2 единицы блага  х₂ потребитель отдаст 10–6=4 единицы блага х₁.

б) Находим предельную норму замещения до обмена:

 

Значит за единицу блага х₂ до обмена потребитель готов отдать 1 единицу блага х₁.

 

Находим предельную норму замещения после обмена:

Значит за единицу блага х₂ после обмена потребитель готов отдать 0,25 единиц блага х₁.

 

методические указания по выполнению

лабораторной работы №6

 

Изучение задачи производственного потребления при различных условиях

 

Назначение. Научиться определять оптимальный план развития предприятия в задачах производственного потребления.

Пример 1.

Фермер выращивает свиней и коров. На одну свинью надо 4 кв. м., на одну корову – 6 кв. м. Размер фермы 800 кв. м. Определите оптимальное поголовье животных, чтобы максимизировать полезность, если   ?

Пример 2.

Фермер выращивает яблони и другие культуры на площади 500 кв. м. Каждая яблоня занимает 1 кв. м, а другие культуры – по 4 кв. м. Функция полезности имеет вид , где х₁ – число яблонь, х₂ – число других культур.

а) Сколько яблонь и других культур посадит фермер, чтобы максимизировать полезность?

б) Если площадь сада увеличится на 100 кв. м, на сколько изменятся посадки  яблонь и других культур?

Решение.

а) Составим оптимизационную задачу максимизации полезности, заметив что бюджетному ограничению в ней соответствует ограничение на расход площади сада:

Запишем функцию Лагранжа

Необходимые условия оптимальности:

Тогда

б) Во втором случае

Отсюда функция Лагранжа

Необходимые условия оптимальности:

Тогда

Значит в первом случае для максимизации полезности в первом случае , во втором случае , т.е. на 100 штук возрастёт выращивание яблонь.

 

методические указания по выполнению

лабораторной работы №7

 

Изучение бюджетной линии,  определение оптимального набора потребителя

при различных условиях, вывод «правила долей»

 

Назначение. Научиться определять оптимальный набор потребителя, цены и доход для различных функций полезностей потребителя, формализация «правила долей»,  использование в расчётах функции Лагранжа.

Пример 1.

Пусть функция потребителя имеет вид , где х₁ и х₂ – два взаимозаменяемых товара. Потребитель потребляет эти товары в количестве х₁=16, х₂=28. Рассчитайте доход потребителя (К) и цену второго товара , если цена первого товара .

Пример2.

Пусть функция потребителя имеет вид , где х₁ и х₂ – два взаимозаменяемых товара. Найти оптимальный набор потребителя через функцию Лагранжа

Пример 3.

Оптимальный набор потребителя составляет х₁=6, х₂=8, К=240. Определите цены потребляемых благ, если:

1) .

2)

Пример 4.

Определите оптимальный набор потребителя (количество х₁ и х₂), если располагаемый доход потребителя 900, цена Р₁=16, цена Р₂=4 . Функция полезности потребителя имеет вид: .

Как изменится потребление, если Р₁=16 снизится до 9?

Пример 5.

Пусть функция потребителя имеет вид , где х₁ и х₂ – два взаимозаменяемых товара. Потребитель имеет К=100,  цена Р₁=10, цена Р₂=9.

Определите на сколько надо снизить цену Р₂ , чтобы остаться на прежней кривой безразличия, если Р₁ увеличится в 2 раза? Как изменится оптимальный набор потребителя?

Пример 6.

Определите оптимальный набор потребителя (количество х₁ и х₂), если располагаемый доход потребителя 200, цена Р₁=9, цена Р₂=16 . Функция полезности потребителя имеет вид: .

Как изменится набор потребителя, если , ?

Пример 7.

Определите оптимальный набор потребителя (количество х₁ и х₂), если располагаемый доход потребителя 900, цена Р₁=16, цена Р₂=4 . Функция полезности потребителя имеет вид: .

Как изменится оптимальный набор потребителя, если доход возрастёт в 1,5 раз?

Пример 8.

Пусть функция потребителя имеет вид , где х₁ и х₂ – два взаимозаменяемых товара. Потребитель потребляет эти товары в количестве х₁=4, х₂=9.

Если потребление х₂ увеличится до 12 как изменится потребление х₁, чтобы функция полезности не изменилась?

Пример 9.

Пусть функция потребителя имеет вид , где х₁ и х₂ – два взаимозаменяемых товара. Потребитель потребляет эти товары в количестве х₁=3, х₂=5, К=120. Определите, как изменится доход потребителя, если новый набор х₁=6, х₂=2. Уровень цен не менялся. ( Через функцию Лагранжа).

Пример 10. Рациональный потребитель из всех имеющихся вариантов выбрал набор, состоящий из 20 единиц блага х₁ и 25 единиц блага х₂ . Функция полезности имеет вид , располагаемый доход составляет 100 у.д.е. в месяц.

Определите, как изменится доход потребителя, если новый набор содержит 10 единиц блага х₁ и 15 единиц блага х₂. Уровень цен не менялся.

Решение.

Способ 1

Т.к. в точке касания угол наклона касательных к бюджетной линии и кривой безразличия одинаковый, то определим вначале угол наклона кривой безразличия:

,

.

Тогда, .

Выразим любую из цен, например . Для нахождения цены р₂ воспользуемся бюджетным ограничением . Тогда .

Далее, определяем доход при изменении набора потребителя .

Значит изменения дохода составит 100-50,2=49,8, т.е. он сократится на 49,8 у.д.е.

Способ2

Решение данной задачи можно получить используя функцию Лагранжа:

Из последней системы выразим сначала , тогда . Полученное выражение подставим в бюджетное ограничение для нахождения р₁: .

Следовательно, . Расчёты по изменению дохода аналогичны расчётам способа 1.

Пример 11.

Пусть функция потребителя имеет вид , где х₁ и х₂ – два взаимозаменяемых товара. Цена товара р₁ равна единице, цена р₂ – в 2 раза больше. При какой величине дохода потребитель:

а) не будет покупать товар х₂?

б) будет покупать ровно одну единицу товара х₂?

Пример 11. Найти оптимальный набор потребителя (в символьном выражении) если функция полезности имеет вид .

Пример 12. Найти оптимальный набор потребителя (в символьном выражении) если функция полезности имеет вид , т.е. вывести «правило долей». Цена блага х₁=р₁, блага х₂=р₂, располагаемый доход равен К.

Решение.

Способ 1

Т.к. в точке касания угол наклона касательных к бюджетной линии и кривой безразличия одинаковый, то определим вначале угол наклона кривой безразличия:

  ,

.

Используя бюджетное ограничение выражаем : , .

Тогда, . Вернёмся к системе:

  выразим .

Для нахождения х₁ подставим х₂ в бюджетное ограничение:

Подставив х₁ в х₂ найдём

Получено «правило долей», которое можно в дальнейшем использовать для определения оптимального набора потребителя однотипных функций полезности.

Способ2

Решение данной задачи можно получить используя функцию Лагранжа:

Таким образом получили результаты, аналогичные Способу 1.

Пример 13. Пусть функция потребителя имеет вид , где х₁ и х₂ – два взаимозаменяемых товара. Цены на эти товары равны р₁=10, р₂=5, К=100.

 Определите, как изменится оптимальный набор потребителя, если доход увеличится в 2 раза?

Решение.

Используя правило долей определим оптимальный набор потребителя, если К=100:

Далее, таким же образом определим оптимальный набор потребителя, если К=200:

Значит, при увеличении К в 2 раза оптимальный набор потребителя также возрастёт в 2 раза: , .

Пример 14. Пусть функция потребителя имеет вид , где х₁ и х₂ – два взаимозаменяемых товара, К=200. Соотношение цен на блага х₁ и х₂ – 1:1 соответственно.

Определите, как изменится соотношение количества благ в оптимальном наборе потребителя, если соотношение цен на блага х₁ и х₂ установятся на уровне 2:1?

 

Назначение. Научиться определять оптимальный план развития предприятия в задачах  оптимального производственного потребления при ограниченном запасе ресурсов.

Пример 15. Модель потребителя имеет вид:

а) Найдите в общем виде оптимальный набор потребителя, используя выводы из условия оптимальности?

б) Какое количество каждого товара купит рациональный потребитель, если р₁=2, р₂=1, К=100?

Пример 16. Рассчитайте, какой будет предельная полезность рубля для данного предприятия, если модель производства имеет вид:

 

 

методические указания по выполнению

лабораторной работы №8

 

Изучение показателей сравнительной статистики теории потребления,

уравнения Слуцкого

 

Назначение. Научиться определять оптимальный набор потребителя, при изменении дохода потребителя,  цены на товар и компенсированном изменении цен. Изучить расчёты эффекта дохода, замещения и общего эффекта, используя уравнение Слуцкого.

Пример 1.

Спрос потребителя описывается функцией  F=9+К/3Р. Доход потребителя К=600, Р=20. Определите общий эффект от роста цены до Р=50, эффект замещения и эффект дохода.

Пример 2.

Доход потребителя составляет 130 у.е. Он тратит его на приобретение двух товаров х₁ и х₂. Предпочтения потребителя описываются функцией полезности . Определите общий эффект от изменения цены Р₁ с 3 до 6, а Р₂  – неизменна и равна 5, эффект дохода и эффект замещения.

Пример 3.

Доход потребителя составляет 500 у.е. Он тратит его на товар х₁ и х₂ , Р₁=10 у.е., Р₂=20 у.е. На товар х₁ потребитель получает льготу в размере 50%. Предпочтения потребителя описываются функцией полезности .

- Определите эффект дохода и эффект замещения.

- Как изменятся объёмы потребления.

Пример 4.

Доход потребителя составляет 1000 у.е. Он тратит его на приобретение двух товаров х₁ и х₂, цены которых  р₁=40,  р₂=10. Предпочтения потребителя описываются функцией полезности .

Определите общий эффект, эффект дохода и эффект замещения, если на товар х₂ введён 25% налог.

Решение.

1) Используя «правило долей» определяем количество товаров х₁ и х₂ до введения налогов: ,

Используя «правило долей» определяем количество товаров х₁ и х₂ после введения налога 25,0%, на товар х₂ , т.е.  цена товара х₂ будет равна р₂=10·1,25=12,5. Тогда, количество товара , а товара .

Значит эффект дохода составит

2) Для определения эффекта замещения, рассчитаем, при каком доходе и потребитель останется на прежней кривой полезности. Полезность до введения налога составит , а после введения налога размер дохода должен быть

Тогда .

Значит эффект замещения составит

3) Общий эффект состоит из суммы эффекта замещения и эффекта дохода:  

Пример 5.

Спрос потребителя описывается функцией F=2К/5Р. Цена товара Р=20 у.е., доход К=1000 у.е.

- Определите,  как изменится спрос на товар, если его цена упадёт до 10 у.е.

- Найдите эффект замещения и эффект дохода.

Пример 6.

Спрос потребителя описывается функцией F=0,5К–3Р. Цена товара Р=10 у.е., доход составляет К=900 у.е.

- Если цена возрастёт до 20 у.е. каким должен стать доход, чтобы спрос на товар остался на прежнем уровне.

- Чему равен эффект дохода и эффект замещения?

Пример 7.

Функция спроса на товар , где K - доход, p - цена единицы товара, С - количество товара. Пусть К=7500, р=30.

Если цена товара вырастет до 40, то каким должен стать доход, чтобы спрос на товар оставался прежним? При этом доходе и новой цене сколько единиц товара будет куплено?

Чему равен эффект замены и эффект дохода при повышении цены на товар до 40?

Решение:

1. При К=7500, р=30, спрос на товар составит единиц.

 Если цена возрастет до 40, а спрос не изменится, то получаем уравнение

2. Из уравнения Слуцкого определяем эффект дохода . Общий эффект   . Тогда эффект замены .

Пример 8.

Спрос потребителя описывается функцией  С=102+К/2Р. Доход потребителя К=900, Р=12.

Определите эффект от изменения цены, замены и дохода если:

- цена упадёт до 7.

- цена возрастёт до 14.

Пример 9.

Потребитель тратит весь свой доход только на два товара - 1 и 2. Задана функция спроса потребителя на товар 1: , где K - доход, р₁ – цена товара 1. Пусть р₁=5,  р₂=20, К=1000.

- Определить, как изменится спрос на товар 1, если его цена упадет до 4 ден. ед.

- Найдите эффект замены и эффект дохода в общем изменении спроса на товар 1.

Решение

1.   Определим спрос на товар 1 при первоначальной цене . Затем определим спрос на товар 1 при новой цене . Тогда изменение спроса составит единиц.

2. Из уравнения Слуцкого определяем эффект дохода . Общий эффект . Тогда эффект замены .

Пример 10.

Функция полезности потребителя имеет вид  Его расход равен   При этом, Р₁=2 у.е., Р₂=3 у.е., К=18 у.е.

Рассчитайте компенсированное изменение дохода по Слуцкому.

Пример 11.

Функция полезности потребителя имеет вид  Начальные цены товаров равны: Р₁=2 у.е., Р₂=3 у.е. После повышения цены первого товара в 8 раз и сохранения цены второго товара потребитель приобретает набор: х₁=22/24, х₂=22/9.

Рассчитайте компенсированное изменение дохода по Слуцкому.

Пример 12.

Функция спроса на товар х₁ зависит от его цены Р₁ и дохода К следующим образом:  . Используя уравнение Слуцкого, рассчитайте компенсированное изменение дохода.

 

методические указания по выполнению

лабораторной работы №9

 

Изучение эластичности спроса

Назначение. Научиться определять коэффициенты эластичности по доходу, по цене, перекрёстную эластичность с последующими выводами по полученным результатам.

Пример 1.

  Спрос потребителя описывается функцией С= 4–2Р. При какой цене эластичность спроса равна (–0,9).

Пример 5.

 Дана функция спроса на некоторый товар  . При какой цене p коэффициент эластичности спроса по цене равен -0,5?

Решение:

Коэффициент эластичности спроса по цене определяется как . А так как , то отсюда .

Пример 3.

Спрос потребителя описывается функцией С=72–1,8Р.

Определите коэффициент эластичности при Р=5 и Р=10.

Пример 5.

 Соотношение товара и величины спроса задано функцией . Определить коэффициент эластичности при р=5 и 7 у.е.

Решение.

1) Определяем коэффициент эластичности при р=5:

2) Определяем коэффициент эластичности при р=7:

Значит при цене товара 5 у.е. спрос неэластичный, а при цене – 7 у.е. эластичен.

Пример 5.

Спрос потребителя описывается функцией С=28–3Р.

При какой цене Е_р=0,9, и Е_р=1,1.

Пример 5.

Спрос потребителя на товар х₁  описывается функцией С=30–0,8Р₁ +2Р₂ .При этом Р₁=3, и Р₂=8.

Определить коэффициент прямой и перекрёстной эластичности спроса по цене.

Пример 5.

Спрос потребителя на товар х₁  описывается функцией С=32–1,5Р₁ +2,4Р₂ .При  Р₂=4, было приобретено 10 единиц х₁.

Определить коэффициент прямой и перекрёстной эластичности спроса по цене на товар х₁.

Пример 5.

 Цена меди на мировом рынке составляет $0,75 за фунт. Ежегодно продается 750 единиц (млн. фунтов) меди. Ценовая эластичность спроса на медь равна -0,4.

Найдите линейную функцию спроса на медь.

Решение: Пусть С - объем спроса на медь, Р - ее цена, тогда  (линейная функция спроса).

Ценовая эластичность спроса на медь определяется как

Получаем систему уравнений

Отсюда . Подставляя вместо Р и С значения 0,75 и 750 соответственно, находим: . Значит, .

Пример 5.

Эластичность выпуска по капиталу равна 0,6, эластичность выпуска по труду равна 0,4, Использование капитала уменьшилось на 4%, использование труда увеличилось на 8%. Определите на сколько в процентном соотношении и в каком направлении изменится эластичность производства.

Пример 5.

 Соотношение товара и величины спроса задано функцией . при какой цене спрос на товар будет неэластичным ( ) или эластичным ( ).

Решение.

1)      Определяем цену на товар, когда спрос на товар будет неэластичным ( ):

2)      Определяем цену на товар, когда спрос на товар будет эластичным ( ):

Значит спрос эластичный при цене товара р=2,2 у.е., а неэластичный – при цене р=1,99 у.е.

Пример 5.

функция спроса равна: , а цена товара: 0,5 у.е. Каким будет спрос на товар по эластичности?

Решение.

Определяем объём спроса при заданной цене товара: . Тогда эластичность спроса,  будет равна:

, значит спрос неэластичен.

Пример 12.

 Соотношение цены и величины спроса задано таблицей. Определить коэффициент эластичности. Дать оценку действиям продавца.

 

Варианты	Цена за единицу продукции (P), у.е.	Объём продаж (Q), ед.	Выручка(P·Q), у.е.
Исходное положение	50	20	1000
Измененное положение	60	15	900

 

Решение.

Определяем эластичность по цене Ер = ; Ep = = =1,25>1

Значит спрос эластичный. Действие продавца не верное, т.к. в условиях эластичного спроса выгоднее снижать цену, а не повышать.

 

Варианты	Цена за единицу продукции (P), у.е.	Объём продаж (Q), ед.	Выручка(P·Q), у.е.
Исходное положение	40	20	800
Измененное положение	45	18	8100

Определяем эластичность по цене: Ер = ; Ep= = =0,8<1

Значит спрос неэластичный. Действие продавца верное, т.к. в условиях неэластичного спроса выгоднее осуществлять незначительное повышение цены.

Сведем выводы, сделанные после решения задач в таблицу.

Если цена и доход изменяются в противоположных направлениях, то мы имеем товар эластичного спроса. Если доход и цена изменяются в одном направлении, то товар неэластичного спроса.

 

Тип эластичности	Изменение цены	Изменение дохода	Взаимное изменение цен и доходов
Спрос эластичный	Рост Снижение	Снижение Рост	Противоположное
Спрос неэластичный	Рост Снижение	Снижение Рост	Одинаковое
Единичная эластичность спроса	Рост Снижение	Без изменения	Изменение цены не влияет на доход

 

Пример 13.

 Дана функция спроса на товар X: C_YX = 8 - P_x + 0,2P_y . где P_x и P_y - цены товаров x и y. Допустим, P_x = 4, P_y= 5.

Определите коэффициенты прямой и перекрестной эластичности спроса по цене.

Пример 14.

Спрос на товар задан функцией: , где p₁ - это цена товара, равная 1000 у.е., p₂ - цена другого товара, равная 100 у.е.

 Рассчитайте коэффициент прямой эластичности спроса по цене. Сделайте вывод о спросе на товар 1.

Рассчитайте коэффициент перекрестной эластичности спроса по цене. Сделайте вывод о том, как между собой связаны товары.

Пример 15.

Спрос на товар x₁ задан функцией вида: , где К - совокупный доход потребителя, p₁ и p₂ - цены товаров x₁ и x₂ . Известно, что К = 625, p₁ = 2,  p₂ = 1.

 Определите:

а) коэффициент прямой эластичности спроса по цене;

б) коэффициент перекрестной эластичности спроса по цене;

в) коэффициент эластичности спроса по доходу.

Пример 16.

Известно, что еженедельно на рынке продается 100 ед. товара по цене Р = 8 у.е./ед. При условии равновесия на рынке снижение цены на 1% вызывает увеличение объема спроса на товар на 0,8%.

Определите функцию спроса на данный товар, предполагая, что она линейная.

Пример 17.

Дана функция спроса: , где P₁, — цена товара 1; P₂ — цена товара 2.

Найдите коэффициент перекрестной, эластичности спроса на товар 1 по цене товара 2, если P₁= 2, Р₂= 3.

Сделайте вывод о типе связи между товарами.

 

На главную