Раздел 3 (практика). МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА

методические указания по выполнению

лабораторной работы №10

 

Неоклассическая модель Солоу.

 

Модель Солоу – одна из моделей экономического роста, в которой при некоторых заданных упрощенных условиях формируется результативное уравнение, задающее равновесную траекторию роста при полной занятости. Модель позволяет рассчитать темп прироста занятости, при которой достигается устойчивое равновесие.

Используется линейная однородная производственная функция:

 

Y = F (K, L),

 

где L–единица труда, K–капитал (в у.е.).

Предельная склонность к сбережению (%) – ᴪ

Темп прироста трудовых ресурсов (%) –

 

Задача 1.

 

Производство НД отображается в производственной функции (ПФ):

 

Y= .

занятость трудовой экономический солоу

В период t в хозяйстве было L единиц труда и K капитала. Темп прироста трудовых ресурсов равен за период.

В каком направлении будет изменяться темп прироста НД в соответствии с моделью экономического роста Солоу? Какой объем капитала обеспечит в исходных условиях равновесный рост с периода t1?

Исходные данные: L = 9; K0 = 570; ᴪ = 41; = 3.

Решение.

Для ответа на 1 вопрос определим темп роста при исходных экономических параметрах и сравним его с равновесным темпом роста в указанной модели.

В модели Солоу динамическое равновесие устанавливается тогда, когда темпы роста НД и труда совпадают, следовательно, в условиях задачи равновесный темп роста равен: 1/k=100/3, следовательно,k=0.03, ᴪ = 1+0.03 = 1.03.

В исходном периоде найдем

 

Y0 =

 

В периоде t1 определим прирост трудовых ресурсов:

 

;

 

Исходя из полученных данных, получим:

 

 

Найдем темп роста: =

 

 

Ответ на 2 вопрос выводится из условия равновесного роста:

Так как Y=K*0.07 и Y= , то можно приравнять данные уравнения и найти K:

K*0.07 =  , следовательно, K = 1836.7 у.е.

Вывод: таким образом, темп роста движется в сторону уменьшения и приближается к значению 1,04; полученный объем капитала (1836.7 у.е.) при неизменных условиях обеспечит равновесный рост.

 

Анализ макродинамики по Солоу

 

Решение Основное уравнение динамики в модели Солоу имеет вид

 

 

методические указания по выполнению

лабораторной работы №11

Качественные аспекты роста.

 

Вопрос о том, какие факторы влияют на экономический рост, остается одним из центральных вопросов макроэкономики, и дебаты по поводы источников экономического роста продолжаются и по сей день. Однако, большинство экономистов, следуя классической работе Роберта Солоу 1957 года, выделяют следующие ключевые факторы экономического роста: технический прогресс, накопление капитала и рост трудовых ресурсов. Для того, чтобы описать вклад каждого из этих факторов в экономический рост, рассмотрим выпуск Y, как функцию от запаса капитала (K), используемых трудовых ресурсов (L), и уровня технологии (А): Y = Y(K, L, A).

Нейтральный по Солоу технический прогресс предполагает, что технический прогресс одинаково воздействует на предельный продукт труда и капитала:

 

Y = AF(K, L),                                                                                                      (1)

 

где F(×) – неоклассическая производственная функция.

Солоу предполагал, что функция F(K,L×) обладает постоянной отдачей от масштаба, то есть при увеличении количества капитала и труда в λ раз выпуск также увеличивается в λ раз. Запишем приращение выпуска как:

                                  (2)

Поделив обе части соотношения на Y и, учитывая, что Y= AF(K,L), получим:

  (3)

где – доля дохода капитала в ВВП; (1– sK) – доля оплаты труда в ВВП.

Равенство (3) показывает, что темп роста выпуска (∆Y/Y ) может быть разложен на три составляющие. Первая компонента в правой части – это накопление капитала, причем вклад капитала в рост ВВП пропорционален доле дохода капитала в выпуске. Вторая составляющая – это рост занятости, вклад занятости также пропорционален доли оплаты труда в ВВП. Наконец последняя компонента отвечает за вклад темпа роста технического прогресса в экономический рост.

Учитывая, что обычно под экономическим ростом понимают изменение выпуска на душу населения, вычтем из левой и правой части соотношения (3.5) темп роста занятости:

                                (4)

Следует отметить, что в отличие от темпа роста выпуска и капитала на душ населения, темп технического прогресса практически невозможно измерить. Однако, переписав соотношение (6) относительно ∆A/A, темп технического прогресса можно определить как разницу между наблюдаемым темпом роста выпуска на душу населения и темпом роста капитала на душ населения с поправкой на долю доходов капитала в ВВП.

Таким образом, экономический рост, не объясненный ростом «подушевого» капитала, приписывается техническому прогрессу, или, иначе говоря, мы получаем технический прогресс как остаток, который получил название «остаток Солоу».

 Базовая модель Солоу (без технического прогресса)

Рассмотрим «однопродуктовую» экономику в модели Роберта Солоу. Пусть в этой экономике действует репрезентативный потребитель, который одновременно является производителем и владельцем факторов производства (экономика «Робинзона Крузо»). В экономике есть всего два фактора производства: труд и капитал, а выпуск в каждый момент времени t определяется производственной функцией: Yt = F(Kt,Lt), где F – производственная функция с постоянной отдачей от масштаба. Будем считать, что функция F возрастает по все аргументам, вогнута и удовлетворяет следующим техническим условиям: и

Будем рассматривать закрытую экономику без государственного сектора. Произведенная продукция в момент t может быть использована либо на потребление (Ct), либо на инвестиции (It):

Yt = Ct + It                                                                                                     (7)

Полученный доход потребитель распределяет между потреблением (Ct) и сбережениями (St), причем будем считать, что сбережения являются некой фиксированной долей дохода:

St = sYt,  0 ≤ s ≤1.                                                                             (8)

Через s обозначена норма сбережения, не зависящая от дохода и момента времени t, то есть s – экзогенный параметр. Итак, Yt = Ct + St, откуда с учетом (8.7) и (8.8) получаем:

It = St = sYt.                                                                                                  (9)

Будем считать, что капитал изнашивается с течением времени, и обозначим через δ (0 ≤ δ ≤ 1) норму амортизации капитала, полагая ее постоянной. Таким образом, валовые инвестиции равны сумме чистого прироста капитала и амортизационных расходов:  где – чистый прирост капитала. Подставляя выражение для инвестиций в (8.9), получаем:

                                                                      (10)

Будем считать, что население в рассматриваемой экономике равно трудовым ресурсам и растет с постоянным темпом n: Lt = L0 ent. Будем также считать, что в экономике имеет место полная занятость, то есть труд, стоящий в производственной функции, равен имеющимся трудовым ресурсам.

Поделим обе части уравнения (10) на Lt и с учетом однородности первой степени функции F получим:

                                  (8.11)

Перейдем от абсолютных величин к величинам на одного рабочего, обозначив через k капитал на одного рабочего или фондовооруженность (k ≡K/L), а через f(k) – выпуск на одного рабочего или производительность труда (f(k)≡F(K/L,1)). Тогда откуда находим  и подставляем в (8.11):

                                                 (12)

Дифференциальное уравнение (8.12) называют уравнением накопления капитала. В левой части уравнения – чистый прирост капитала на душ населения. Если сбережения на душу населения превышают инвестиции, необходимые для поддержания неизменной величины капитала на душу населения, то эти избыточные средства позволят увеличить запас капитала на душу населения.

Стационарное состояние в модели Солоу

Определим стационарное состояние в рассматриваемой модели, как ситуацию в которой фондовооруженность является неизменной величиной, т.е.  Тогда фондовооруженность в стационарном состоянии k* определяется из равенства:

sf(k*) = (n + d)k*                                                                                (13)

Стационарное состояние в модели Солоу можно изобразить графически (рисунок 8.1). По нашим предположениям производственная функция f(k) вогнута и выходит из нуля. Кроме того, наклон f(k) в нуле равен бесконечности, а при больших k кривая f(k) становится пологой. Необходимые для поддержания постоянного капитала на душу населения инвестиции (n+ δ)k изображены прямой линией, выходящей из нуля под углом, равным (n+δ).

k

f(k)

sf(k)

(n + d)k

k*

f(k*)

k0

с0

i0 = s0


Рисунок 1 Стационарное состояние в модели Солоу

 

Если первоначально экономика имеет капитал на душу, равный k0, то валовые «подушевые» инвестиции (i0) (в расчете на одного работника) для этой экономики будут равны сбережениям s0 в точке k0. «Подушевое» потребление с0 соответствует вертикальному отрезку между производственной функцией и функцией сбережений.

Точка пересечения кривой сбережений и кривой необходимых инвестиций определяет стационарный «подушевой» капитал k*.

Таким образом, в отсутствии технического прогресса для экономики с растущим населением в стационарном состоянии уровень фондовооруженности труда не меняется. В связи с этим выпуск и потребление на душу населения также постоянны, то есть y* = f(k*), c*=(1 – s)f(k*). Это значит, что запас капитала, выпуск и потребление в стационарном состоянии растут с тем же темпом (n), с которым растет население.

Золотое правило накопления

Благосостояние населения зависит не только от величины общего дохода, но и от его распределения на потребление и инвестиции. Увеличение s увеличивает k* и выпуск, но его влияние на потребление  может быть двояким. В связи с этим возникает задача оценки таково уровня k*, при котором достигается максимум потребления:

 

при условии с(k(s)) = (1 – s)y = f(k(s)) – (n + d)k(s).

Отсюда:

                                                      (14)

Величина потребления зависит от того, превысит ли предельная производительность капитала f'(k) величину (n + d). Согласно (8.14) рассмотрим 3 случая (рисунок 8.2):

k*

f(k*)

(n + d)k*

k**

f(k**)

s2f(k*)

k1*

с1*

k2*

с2*

s1f(k*)

с**


Рисунок 2 Золотое правило накопления капитала

 

1.        f'(k) < (n + d). Если предельная производительность капитала f'(k) меньше величины (n + d), то прирост общего выпуска не достаточен для поддержания k на новом устойчивом уровне, и, следовательно, потребление должно упасть, хотя экономика достигнет нового устойчивого состояния.

2.        f'(k) > (n + d): прирост общего выпуска превышает объем необходимых инвестиций, поэтому увеличиваются и инвестиции, и потребление.

3.        f'(k) = (n + d): достигается максимально возможное потребление из всех возможных устойчивых состояний и небольшое изменение k никак не повлияет на величину потребления.

Таким образом, сформулируем золотое правило накопления: выбор нормы сбережения s, обеспечивающей устойчивый уровень фондовооруженности k**, при котором достигается максимально возможное потребление, называется уровнем, соответствующим золотому правилу накопления.

 

методические указания по выполнению

лабораторной работы №12

 

Модель Солоу с трудосберегающим техническим

прогрессом

 

До настоящего момента анализ модели проводился с учетом неизменного технического прогресса. При этом фондовооруженность и производительность труда должны быть постоянны в долгосрочном периоде. Однако эмпирические исследования говорят о том, что обе эти переменные растут.

Рассмотрим влияние научно-технического прогресса (НТП) в модели Солоу [Solow R.M. A contribution to the theory of economic growth // Quarterly Journal of Economics. – 1969. – # 70. – P. 65–94]. Принято различать трудосберегающий, капиталосберегающий и нейтральный (по Хиксу) технический прогресс.

Нейтральный по Хиксу технический прогресс позволяет произвести тот же выпуск, но с меньшими затратами труда и капитала, не изменяя пропорции между факторами производства, т.е.:

 

Y = F(K, L, A) = F(A, K, L),                                                 (1)

 

где А – параметр, характеризующий НТП.

Трудосберегающий НТП позволяет произвести тот же выпуск, но с меньшими затратами труда за счет увеличения производительности труда (Y = F(K, L, A) = F(K, А×L)), капиталосберегающий НТП – за счет увеличения эффективности (отдачи) капитала (Y = F(K, L, A) = F(А×K, L)).

Полагая, что темп технического прогресса является постоянной величиной ( ), то из всех рассмотренных вариантов НТП только трудосберегающий технический прогресс совместим с существованием стационарного состояния в модели Р. Солоу.

Перепишем условие равновесия (8.10) для модели Р. Солоу с наличием трудосберегающего НТП:

 

                                                                     (2)

 

Следуя вышеизложенной логике базовой модели Р. Солоу, запишем уравнение накопления капитала при наличии трудосберегающего технического прогресса:

 

                                                                  (3)

 

где k – в данном случае фондовооруженность на одного эффективного работника.

Определим стационарное состояние, как состояние, в котором капитал на единицу эффективного труда постоянен, тогда стационарный капитал k* определяется из условия: sf(k*) = (n + g + d)k*. В стационарном состоянии капитал на одного эффективного рабочего k постоянен, откуда следует, что y* = f(k*), c*=(1 – s)f(k*) также постоянны (как и в базовом варианте модели). Это означает, что «подушевой» капитал k ( в расчете на 1 работникая), а также c и y в стационарном состоянии растут с постоянным темпом, равным темпу технического прогресса g. При этом запас капитала и уровень выпуска (K и Y) в стационарном состоянии растут с темпом (n+g). Заметим, что, как и ранее, другие экзогенные параметры (норма сбережения, норма амортизации, производственная функция) влияют лишь на траекторию перехода к стационарному состоянию и стационарный капитал, но не влияют на темпы роста в стационарном состоянии.

На главную