Методы оптимизации и системы поддержки принятия решений

Понятие об оптимизационном расчете

Проектирование технических объектов или управленческих решений всегда включает в себя элементы оптимизации – стремление получить наилучший вариант среди возможных вариантов. Это стремление реализуется перебором вариантов структуры объекта (структурный синтез) и варьированием значений параметров объекта при заданной структуре (параметрическая оптимизация или просто оптимизация).

Обозначим через \(x_i, i=1...n\) набор внутренних параметров системы, \(y_j, j=1...m\) - набор выходных параметров, \(q_k, k=1...l\) - параметры внешней среды, влияющие на систему.

Тогда модель объекта можно представить в виде \(\overrightarrow{Y}=\overrightarrow{Y}(\overrightarrow{X},\overrightarrow{Q})\), где каждый из векторов представляет собой набор значений соответствующих компонентов.

Если внешние факторы известны и фиксированы, то получаем \(\overrightarrow{Y}=\overrightarrow{Y}(\overrightarrow{X})\). Такая модель называется детерминированной моделью объекта.

Варьируемые при оптимизации параметры называются управляемыми параметрами (варьируемыми параметрами) или переменными.

Требования к моделируемому объекту можно сформулировать в виде системы неравенств, определяющих возможные значения входных и выходных параметров \[\left\{\begin{matrix} x_i^{min}\leq x_i\leq x_i^{max} & i=1...n\\ y_j^{min}\leq j_i\leq y_j^{max} & j=1...m \end{matrix}\right.\]

Если известны связи выходных параметров с входными, то вместо данной системы неравенств рассматривают ограничивающие функции \(g_j(\overrightarrow{X})\geq 0\).

Под решением задачи оптимального моделирования понимается процесс выбора управляемых переменных \(\overrightarrow{X}\), обеспечивающих оптимальное значение некоторой функции \(\Phi(\overrightarrow{X})\). Эта величина, показывающая относительное предпочтение одних значений компонент вектора по отношению к другим значениям этих компонент, называется критерием оптимальности. В зависимости от цели проектирования необходимо либо максимизировать, либо минимизировать критерий оптимальности.

Таким образом, для выполнения оптимизационного моделирования требуется задать следующие параметры:

  1. вектор управляемых переменных \(\overrightarrow{X}\);

  2. критерий оптимальности \(\Phi(\overrightarrow{X})\) и направление оптимизации;

  3. выражения для ограничивающих функций \(g_j(\overrightarrow{X})\geq 0\).

Решение оптимизационных задач в Microsoft Excel

При анализе постановки оптимизационной задачи становится очевидным, что электронная таблица, в которой можно выполнять Поиск решения, является подходящим средством для выполнения оптимизационных расчетов:

  • вектор управляемых переменных можно представить в виде блока-строки или блока-столбца ячеек;

  • критерий оптимальности и ограничивающие функции с помощью встроенных функций и операторов;

  • возможность направленного варьирования параметров позволяет задать направление оптимизации.

Рассмотрим некоторые из типовых задач.

Транспортная задача

Постановка.

Имеется \(n\) отправителей груза и \(m\) получателей. Заданы числа

\(r_i\) – количество груза у \(i\) отправителя;

\(p_j\)– потребность в грузе \(j\) получателя;

\(s_{ij}\)– стоимость перевозки груза от \(i\) отправителя к \(j\) получателю.

Требуется составить план перевозок грузов между отправителями и получателями, минимизирующий суммарную стоимость перевозок.

Модель.

Обозначим через \(x_{ij}\) объем поставки груза от \(i\) отправителя к \(j\) получателю (очевидно \(x_{ij}\geq 0\)). Тогда суммарная стоимость перевозок составит \[S=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m s_{ij}x_{ij}\] Количество груза, отправленное \(i\) отправителем составит \[R_i=\sum_{j=1}^m x_{ij}\]Количество груза, полученное \(j\) получателем составит \[P_j=\sum_{i=1}^m x_{ij}\]Очевидно, что \(p_j\geq P_j\) и \(r_i\geq R_i\). Однако одновременно эти неравенства не могут выполняться, поскольку приводят к нулевым значениям переменных. Поэтому хотя бы одно из них должно быть равенством (в зависимости от того, какая из величин суммарное наличие или суммарная потребность больше). Возможна ситуация, когда оба выражения станут равенствами – случай совпадения суммарной потребности и наличия.

Решение в электронной таблице.

I. Ввести в таблицу все стоимости в виде массива.

II.Рассчитать суммарные наличие и потребность. Определить знаки ограничений.

  1. Добавить в таблицу массив переменных.

  2. В таблице переменных вычислить суммы по строкам и по столбцам (это даст величины отправлений и доставок).

  3. Вычислить сумму произведений массивов стоимостей и переменных (это даст целевую ячейку).

  4. Запустить «Поиск решения», внести данные модели и выполнить расчет.

Задача об оптимальном назначении.

Постановка.

Найти оптимальное распределение q работ между p исполнителями при заданной матрице эффективности \(C=(c_{ik})\), где \(c_{ik}\) характеризует эффективность выполнения i-й работы k-м исполнителем при следующих дополнительных условиях: 1) каждый исполнитель может выполнять только 1 работу, 2) каждая работа может быть выполнена только 1 исполнителем.

Модель.

Данная задача аналогична транспортной. Однако имеется ряд отличий. Во-первых, переменные \(x_{ij}\) могут принимать только одно из двух значений 0 i-работу не поручатьj исполнителю) или 1 i работу поручитьjисполнителю). Дополнительные условия приводят к системе ограничений типа \(\sum x_{ij}\), где сумма вычисляется по каждому из коэффициентов i и j.

Решение в электронной таблице.

I. Ввести матрицу эффективности в виде массива.

II. Ввести матрицу переменных.

III. Вычислить в матрице переменных суммы по каждым строке и столбцу (это даст левые части ограничений).

  1. Вычислить сумму произведений массивов переменных и эффективностей (это даст целевую функцию).

V. Запустить «Поиск решения», внести данные модели и выполнить расчет.