Математическая экономика долгое время считалась не самостоя¬тельной дисциплиной, а частью общей экономической теории. Да и в настоящее время многие авторы обращают на это внимание. Однако дос¬тижения математики, ее численных методов и их проникновение во все области человеческой деятельности, а в последнее время бурное приме¬нение вычислительной техники, привели к тому, что хороший эконо¬мист, будь он теоретиком или практиком, не может обойтись без свобод¬ного владения известными математическими методами и без их приме¬нения к экономическим процессам. Более того, проникновение матема¬тики в область экономики привело к возникновению новых научных направлений как в экономике, так и в самой математике. Поэтому это взаимообогащение двух областей человеческой деятельности и их интен¬сивное совместное развитие в последние годы дают полное право считать математическую экономику самостоятельной дисциплиной. Под математической экономикой (mathematical economics) по¬нимают дисциплину, в которой рассматриваются вопросы математиче¬ского моделирования экономических процессов и применения математи¬ческих методов к решению и анализу экономических задач. Переход к рыночной экономике невозможен без специалистов, хорошо подготовленных как в экономике, так и в математическом отношении. Как свидетельствует экономическая теория, в экономике дейст¬вуют устойчивые количественные закономерности, поэтому возможно их строго формализованное математическое описание. Объ¬ект изучения математической экономики как учебной дисциплины — экономика и ее подразделения. Предмет математической экономики — математические модели реальных экономических объектов. Метод математической экономики — системный анализ эконо¬мики как сложной динамической системы. Модель – это объект, который замещает оригинал, отражает наиболее важные для данного исследования черты и свойств ори¬гинала. Модель, предстающая собой совокупность математиче¬ских соотношений, называется математической. Система – это совокупность взаимосвязанных элементов, со¬вместно реализующих определенные цели. Надсистема — окру¬жающая систему среда, в которой функционирует система. Подсис¬тема — подмножество элементов, реализующих цели, согласованные с целями системы (например, подсистема может осуществлять часть целей системы). Основная цель экономики – обеспечение общества предметами потребления, в том числе такими которые создают условия для безопасности общества. Экономика состоит из элементов — хозяйственных единиц (предприятий, фирм, банков и т.п.). Необходимо обратить внимание на две особенности экономики как объекта моделирования: 1. В экономике невозможны модели подобия, которые широко применяются в технике. Например, а гидротехнике широко исполь¬зуется следующий прием: строится точная копия гидроузла {ска¬жем, в масштабе 1:1000) и на этой копим отрабатываются с необхо-димой корректировкой проектных решений все режимы работы гидроузла. Однако нельзя построить точную копию экономики в масштабе 1:1000 и на этой копим отрабатывать розничные варианты экономической политики. 2. В экономике крайне ограничены возможности локальных экономических экспериментов, поскольку все её части жестко взаимосвязаны яруг с другом и, следовательно чистый экспери¬мент невозможен, Что же остается? Свой прошлый опыт, опыт других стран, прямые эксперименту со всей экономикой и математическое мо¬делирование.

ВОпыт других стран и отечественный опыт трудно переоценить, но далеко не всегда он напрямую может быть перенесен в условия данной конкретной экономической ситуации. Прямые эксперименты с экономикой имеют как положительную, так и отрицательную стороны. Положительная сторона состоит я том, что сразу видны краткосрочные результаты проводимой эко¬номической политики. Отрицательная же сторона заключается в том, что невозможно напрямую предвидеть средне- и долгосрочные последствия принимаемых решений. Предвидеть их возможно лишь на основе концептуальных моде¬лей развития экономики, опирающихся на прошлый опыт. В свою очередь концептуальные модели и составляют фундамент математи¬ческих моделей. Разработка математических моделей чрезвычайно трудоемка, гораздо труднее достаточно адекватной реальности модели. Следует напомнить, что модель Кейнса, отражающая возможности рыноч¬ной экономики адаптироваться к возмущающим воздействиям, бы¬ла построена лишь под впечатлением жестоких ударах тяжелейшего кризиса 1929—1933 гг. Однако применение этой модели для выхода из послевоенного кризиса в Германии и Японии было весьма ус¬пешным и получило название «экономического чуда». Таким образом, для выработки правильных экономических ре¬шений необходим скрупулёзный учет как всего прошлого опыта, так и результатов, полученных по концептуальным и математическим моделям, наиболее адекватным данной экономической ситуации. Полная математическая модель содержит 5 групп уравнений: 1. Уравнения эффективности (критерий управления, целевая функция) служат основой для оценки конкретных решений рассматриваемой проблемы. В большинстве случаев используется несколько уравнений эффективности. 2. Уравнения связи. Зависимость выходных параметров от входных (управляемых и неуправляемых) переменных системы. Если зависимости не меняются с течением времени, объект считается стационарным. В большинстве систем эти зависимости меняются. Для них выделяют интервалы такой длины, на которой объект может считаться стационарным. Учет нестационарности системы усложняет математическую модель. 3. Уравнения ограничений. Показывают допустимые пределы изменения входных и выходных переменных системы. Могут быть записаны в форме равенств (ограничения типа баланса) или неравенств (ограничения на пределы изменения переменных). В качестве ограничений в организационных системах могут быть не технологические ограничения, а директивные указания (например, план работы), социально-трудовые ограничения – ограничения продолжительности смены, условий труда и др. 4. Уравнения адаптации. Выражают основанное на учете ранее встретившихся удачных вариантов поведения системы, стремление воссоздать удачные варианты в похожих условиях или хотя бы минимизировать расхождение между ними. 5. Уравнения управления. Определяют оптимальный закон (алгоритм) управления. В общем случае они показывают зависимость оптимальных управляемых параметров от выхода системы, цели управления и от неуправляемых параметров. Поиск закона управления является конечным этапом оптимизации поведения системы. Упрощенная модель. Всегда в рамках анализа исследователь должен дать исчерпывающую формулировку задачи, если даже очевидно, что в такой постановке она не поддается решению. Обеспечив полную формулировку, можно затем принять ряд допущений, упрощающих модель. Исследователь лучше представит себе, как будет влиять любое из необходимых упрощений на адекватность модели. Имитационная модель (оценочная модель) содержит соотношения связи и ограничения в включает подсчет (но не оптимизацию) целевой функции. Одновременно с построением модели необходимо выбрать или разработать численный метод решения. Для этого нужно решить:

1) использовать имитационное моделирование или метод оптимизации; 2) учитывать случайности или нет; 3) учитывать нелинейность некоторых соотношений или достаточно ограничиться их линейной аппроксимацией; 4) использовать существующие методы решения или разработать новый. На основе высокого уровня развития экономической науки, глубокого понимания закономерностей функционирования экономики и умения практически использовать это понимание в ЭММ можно значительно усовершенствовать систему управления народным хозяйством.

2. Основные этапы развития математической экономики

Считается, что исторически впервые методы математического мо¬делирования применены лейб-медиком короля Людовика XV доктором Ф.Кенэ (1694-1774) в 1758 г., когда он опубликовал первый вариант работы "Экономические таблицы" (второй вариант "Арифметическая формула" опубликован в 1766 г.). В этих работах он сделал попытку описать процесс общественного воспроизводства с применением матема¬тических методов исследования. Однако и эти исследования, и более поздние, в XIX в., сделанные К. Марксом при изучении закономерностей изменения прибавочной стоимости, прибыли, процессов простого и рас¬ширенного воспроизводства, были попытками применить математиче¬ские методы в политической экономии и играли второстепенную роль. Более углубленное применение математических методов в эконо¬мике началось с работы французского ученого (математика, философа, историка, экономиста) О. Курно "Исследование о математических прин¬ципах теории богатств", вышедшей в 1838 г. Именно его считают родо¬начальником математической экономики. К концу XIX в. складывается самостоятельное математическое направление в экономике. Видными представителями этого направления были Г.Госсен (1810-1859) в Герма¬нии, У.Джевонс (1835-1882) в Англии, Л.Вальрас (1834-1910) в Швейца¬рии, К.Менгер (1840-1921), Ф.Визер (1851-1926) в Австрии, Г.Кассель (1866-1944) в Швеции, Ф.Эджворт (1845-1926) в Англии, В.Парето (1848-1923) в Италии, В.К.Дмитриев (1868-1913) в России и др. Заме-тим, что многие их них относятся к так называемой неоклассической школе, проповедующей теорию предельной полезности (маржинализм, marginal utility — предельная полезность). Суть этой теории в том, что конкуренция устанавливает равновесие между производством и по¬треблением. Наиболее видным представителем неоклассической школы был Л.Вальрас, чья теория общего конкурентного равновесия в тече¬ние многих лет была основным движущим фактором в развитии матема¬тической экономики. Согласно этой теории, основной критерий развития экономики — максимизация прибыли для производителя и полезности для потребителя. Следует отметить и известного русского экономиста В.К.Дмитриева, основная работа которого "Экономические очерки. Опыт органического синтеза трудовой ценности и теории предельной полезно¬сти" опубликована в 1904 г. В своих исследованиях он сделал некоторые выводы, которые в 30-е годы XX в. были получены на основе анализа модели "затраты-выпуск" В.Леонтьевым, известным американским эко¬номистом, лауреатом Нобелевской премии, русским по происхождению. Наконец, необходимо обратить внимание и на исследования из¬вестного русского ученого (математика, статистика, экономиста) Е.Е.Слуцкого (1880-1948), чей труд "К теории сбалансированного бюдже¬та потребителя", опубликованный в Италии в 1915 г., можно считать основополагающим в теории спроса. В XX в. продолжалось бурное внедрение математических методов в экономические процессы. Представляют интерес работы по построению и использованию производственных функций (ПФ). И хотя еще в нача¬ле века были предложены первые ПФ для анализа сельскохозяйственно¬го производства США, однако возникновение теории ПФ принято отно¬сить к 1928 г. и связывать с именами американских ученых — матема-тика Ч.Кобба и экономиста П.Дугласа, которые опубликовали статью "Теория производства". В ней сделана попытка на основе данных по обрабатывающей промышленности США за 1899-1922 гг. эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и трудовых ресурсов на объем выпускаемой продукции. В настоящее время ПФ Кобба-Дугласа широко применяется в научной литературе; кроме того, имеется обшир¬ная литература по другим видам ПФ. В 1928 г. В. Рамсей предложил модель долгосрочного роста, ко¬торой предвосхитил проблемы оптимального роста, особенно широко исследуемые в настоящее время. 1932 г. ознаменован появлением многосекторной модели расши¬ряющейся экономики Дж. фон Неймана, которая положила начало магистральной теории. Как уже было сказано выше, неоценимый вклад в развитие мате¬матической экономики внес В.Леонтьев. В 1936 г. он опубликовал основные идеи модели "затраты-выпуск", основанные на модели экономи¬ческого равновесия Л.Вальраса. В модели имеется лишь одно ограниче¬ние — на трудовые ресурсы. Цены же формируются таким образом, что дают нулевую прибыль, прибавочная стоимость отсутствует, а весь доход идет на зарплату. Если добавить ограничения и на капитал, то в его структуре появляется норма процента. В 1936 г. появляется работа Д.М. Кейнса "Общая теория занято¬сти, процента и денег", положившая начало кейнсианского направления в экономической науке, направленного против основ классической и неоклассической теорий равновесия. Его последователи разработали ряд макроэкономических моделей, в частности, это модели экономического роста Е. Домара и Р. Харрода. В эти же годы появляются работы, посвященные доказательству существования решения систем уравнений общего равновесия. Эти во¬просы до настоящего времени находятся в центре внимания экономико-математических исследований. Можно назвать ряд ученых, с чьими именами связаны доказательства существования общего равновесия для различных математических моделей экономики: А. Вальд, Мак Кензи, К. Эрроу, Г. Дебре, Х. Никайдо, Х. Удзава, С. Карлин. Важное место в развитии математической экономики занимают работы советских ученых. В первую очередь следует назвать Л.В.Канторовича, чья работа "Математические методы организации и планирования производства", опубликованная в 1939 г., положила нача¬ло новому направлению в математической экономике – линейному про-граммированию. Дальнейшее развитие экономико-математические методы получили в работах Д. Хикса, П. Самуэльсона, Х. Хоутэккера, Д. Гейла, Р. Солоу, В.Л. Макарова, А.М. Рубинова, В.Л. Полтеровича и др. В последние годы сформировались новые направления в математи¬ке — линейное программирование, теория оптимального управления, динамическое программирование, теория игр и др., – которые нашли широкое применение в экономических исследованиях. В данном пособии не концентрируется внимание на политической борьбе между представителями разных школ в математической экономи¬ке. Каждый из них отстаивал ту или иную точку зрения на развитие экономических процессов, будь то модель плановой или децентрализо¬ванной экономики. Каждая из моделей имеет право на существование и свою ценность. Поэтому в пособии рассматриваются различные модели безотносительно от политических пристрастий их авторов.

3. Основные экономические институты и их задачи

Слова "экономия", "экономика" и производные от них в переводе с греческого имеют смысл науки о ведении домашнего хозяйства. Отсюда основное содержание экономической науки составляют вопросы рацио¬нального (или оптимального) ведения хозяйства на различных уровнях: от самой мелкой хозяйственной единицы (отдельного индивидуума или семьи) до всей экономики страны, в целом. Для любой хо¬зяйственной единицы основная задача – оптимальное (наиболее выгод-ное) распределение ограниченных ресурсов для достижения поставлен¬ных целей. В связи с этим задача рационального ведения хозяйства с математической точки зрения может рассматриваться как некоторая задача оптимизации: найти такие значения некоторых переменных (дос¬тупных ограниченных ресурсов), которые доставляют максимум (или минимум) некоторой функции (математический идентификатор постав¬ленной цели). В зависимости от решаемой задачи рационального ведения хозяй¬ства любая хозяйственная единица может выступать в той или иной роли. Таким образом, вся экономика любой страны состоит из множества организаций (иногда их называют экономическими институтами, чаще – участниками экономики). Обычно выделяют четырех наиболее типичных участников экономики: это – потребители, производители (фирмы), профессиональные союзы и правительственные организации. В настоящем курсе рассматриваются лишь первые два участника, от деятельности которых в основном зависит развитие экономики любой страны. Под потребителями (consumers) (в узком смысле – домашними хозяйствами) понимаются отдельные лица или группы лиц, объединен¬ные единым доходом и единой целью: рациональное распределение имеющегося дохода на потребление. Простейшим примером потребителя может служить отдельная семья. В более широком понимании в качестве потребителя рассматривают и хозяйственную единицу, производящую некоторую продукцию и решающую задачу рационального распределе¬ния доступных ей ресурсов при ограниченном наличии имеющихся у нее денежных средств (дохода) для покупки ресурсов. Под производителем (producer), в узком смысле – фирмой (firm), понимаются предприятия, производящие товары для продажи их другим производителям или потребителям и решающие задачу получе¬ния максимальной прибыли. Таким образом, примером производителя может быть любое предприятие, производящее какую-либо продукцию, продаваемую затем на рынке товаров. Как видно из приведенных выше понятий, наряду с потребителя¬ми и производителями (фирмами) первичным объектом реальной эконо¬мики и, следовательно, любой простейшей математической модели эко¬номики является товар, при отсутствии которого действия участников экономики теряют смысл. Под товаром (commodity, goods) в экономиче¬ской литературе понимается любое благо (goods) или услуга (service), которое предназначено для продажи. Таким образом, фирма производит товары и продает их потребителям или другим фирмам. Исходя из вышесказанного, экономику в целом можно рассматри¬вать как науку о рациональной деятельности различных участников экономики, а математическую экономику – как науку о математи¬ческом моделировании экономических процессов и применении матема¬тических методов для решения задач рационального ведения хозяйства различными участниками экономики.